※ 引述《smallprawn (水中瑕)》之銘言：
: 利用降階法求:
: 2
: (x+2) y''-(x+2)y'+y=3x+4
: 2 2 2 2
: 已另 z=x+2 dz=dx , dy/dx=dy/dz, d y/dz =d y/dx
: 2
: 所以 z y''-zy'+y=3z-2 ......(1)
: m
: 令y =z ...... 帶入(1)
: h
: 所以 m=1,1
: 得y =c1 z+ c2 ln z => y =z y =z ln z
: h 1 2
: | z z ln z |
: W=| |
: | 1 ????? | ------這裡要怎麼做?! 真不好意思= =..微積分太差了..
: 還是我整個就是做錯了?!
: 2
: 還請高手解答 答案為y(z) = c1 z + c2 z ln z +3/2 z ln z- 2
: 感恩!!
此為Legendre等維線性ODE
我先說我的解法跟你不一樣
t
令x+2=e => t=ln(x+2)
2 2 d
則(x+2)y'=1*Dy ,(x+2)y'=1 D(D-1)y 其中D=----
dt
t
原式可改為(D[D-1]-D+1)y=3e -2
2 t
整理得(D-1) y=3e -2
齊性解
t t
yh=C1e +C2*t*e =C1(x+2)+C2(X+2)ln(x+2)
特解
1 t
yp=---------(3e -2)
(D-1)^2
1 t 1
yp=3*---------e + ---------(-2)
(D-1)^2 (D-1)^2
2
t t
=3*---e +(1+......)*(-2) 其中(1+....)為馬克勞林展開式
2
3 2
=---(x+2)*ln (x+2)-2
2
特解與齊性解相加即解答...
目前正在思考求特解的其他解法....
剛剛用重積分法失敗= =(不知道錯在哪...檢查算式中)
= = 檢查出來了~多寫一個負號..害我積了好久>.<
Lagrange參數變換法可以做 不過打起來麻煩就不打了 確定解出來一樣
降階法的話....我想想= = 這題明明Legendre很好解...應要降階
降階法超麻煩的= =
不過老實說 Lagrange參數變換法本身也是一種降階法就是了.....
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◆ From: 140.116.91.47
※ 編輯: birdhackor 來自: 140.116.91.47 (12/15 19:07)
※ 編輯: birdhackor 來自: 140.116.91.47 (12/15 19:31)