Re: [理工] [工數]-ODE

[CRAZYAWIND (怒火燒不盡)]

我覺的他都規定用降階法了= =

用Lagendre等維只是變數變換 沒降到階......有可能會被扣分

還是用標準的因變數變換法來降階吧

已知一齊次解 x+2

現令 y = (x+2)v

     y' = v + (x+2)v'

     y" = v' + v' + (x+2) v"

  回代可得
                   3x+4
 (x+2)v" + v' = ─────
                 (x+2)^2

        ∫ 1/x+2 dx
 I(x)= e             = x+2

                 3x+4
Iv' = ∫(x+2) ───── dx
               (x+2)^3
         2
    = ─── + 3 ln│x + 2│ + c1
       x+2
          2        3ln│x+2│    c1
 v' = ───── + ───── + ───
       (x+2)^2       x+2         x+2

 v =       2        3ln│x+2│     c1
     ∫───── + ───── + ───  dx
        (x+2)^2       x+2          x+2
           2       3
   = - ──── + ── ln^2│x+2│ + c1 ln│x+2│ +c2
         x+2       2

                     3
 y = v(x+2) = -2  + ──(x+2)ln^2 │x+2│ + c1(x+2)ln│x+2│ +c2(x+2)
                     2


※ 引述《smallprawn (水中瑕)》之銘言：
: 利用降階法求:
:      2
: (x+2) y''-(x+2)y'+y=3x+4
:                                  2    2   2    2
: 已另 z=x+2 dz=dx , dy/dx=dy/dz, d y/dz  =d y/dx
:       2
: 所以 z y''-zy'+y=3z-2 ......(1)
:       m
: 令y =z  ......  帶入(1)
:    h
: 所以 m=1,1
: 得y =c1 z+ c2 ln z => y =z  y =z ln z
:    h                   1     2
:   | z   z ln z |
: W=|            |
:   | 1   ?????  |           ------這裡要怎麼做?! 真不好意思= =..微積分太差了..
: 還是我整個就是做錯了?!
:                                                      2
: 還請高手解答  答案為y(z) = c1 z + c2 z ln z +3/2 z ln z- 2
: 感恩!!

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◆ From: 59.105.159.190
推 smallprawn:嗯嗯!!3Q已解答!!
→ birdhackor:這個解法最討厭的地方是...要先猜到x+2的解...
→ birdhackor:嚴格來說 沒先用等維解成常係數 不是那麼好猜齊次解
→ CRAZYAWIND:不會阿 看y' 跟y馬上就可以看出 一解@@~
→ birdhackor:那是經驗多的人看的出來...要怎麼解釋~頂多也只能說猜
→ birdhackor:然後驗證~  我覺得降階法對沒感覺的人很吃虧
→ birdhackor:當然我說的是普遍的題目啦 這題原PO有解出來當然就可以
→ birdhackor:直接降了~
→ honestonly:變係數解法 除了正合 都很討厭 但還是要會(泣)
→ birdhackor:一般正常考降階法 理論上都會附一個齊性解~這樣就滿好
→ birdhackor:解的了~