推 kagato:(跪 12/20 21:33
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (12/20 21:45)
推 honestonly:娘子快出來拜神呀!!!<(_ _)> 12/20 22:01
※ 引述《honestonly (嗯..)》之銘言：
: (3)
: ∞ cosxt
: Find the Laplace transform of the given function ∫ -------dx
: 0 1+x^2
: π
: 答案是 -------
: 2(s+1)
: 我的算法是先把那個function令成I 且積分區間換成-∞到∞ 然後取留數
: π
: 計算出I值以後是 ----cosht 然後取拉式轉換 跟答案不一樣 哭哭
: 2
: p.s.第三題 我令cosxt=e^ixt 之後取實部 計算答案會一樣
: 但是為什麼直接用cosxt算就不行??
---
考慮定積分
cos(tz) R cos(tx) cos(tz)
∮ ──── dz = ∫ ──── dx + ∫ ──── dz
c 1 + z^2 -R 1 + x^2 c1 1 + z^2
其中 c1: 由 z=R ，經 |z|=R , 逆時針旋轉，抵達 z=-R 的路徑
這裡要注意的是
當 R→∞ , 右邊那項積分並不是0
1 itz -itz
因為: cos(tz) = ___[ e + e ]
2
1 it(a+bi) -it(a+bi)
= ___[ e + e ] for z=a+bi
2
1 (-tb + ita) (tb - ita)
= ___[ e + e ]
2
可以注意到 cos(tz)
含有 e^(tb) 、 e^(-tb) 等因素
所以當 R→∞ , 右邊那團積分就不能保證是 0
(回想一下當時在證明那團積分=0時 , 是如何用 ML-Ineuqality 來 approach)
---
所以
變成是要考慮以下定積分:
e^(itz) R e^(itx) e^(itz)
∮ ──── dz = ∫ ──── dx + ∫ ──── dz
c 1 + z^2 -R 1 + x^2 c1 1 + z^2
分析一下右邊那個積分:
e^(itz) 1
｜∫ ──── dz｜ ≦ ────── * πR by ML-Inequality
c1 1 + z^2 ｜1 + z^2｜
1
≦ ────── * πR
｜z^2｜ - 1
πR
= ────
R^2 - 1
所以當 R→∞ , 那項積分 "的絕對值" 會趨近於 0
(至於它怎麼趨近不是重點，重點是那項會 vanish 就好)
因此可以得到
∞ e^(itx) e^(itz)
∫ ──── dx = ∮ ──── dz
-∞ 1 + x^2 1 + z^2
= 2πi * Σ Res{ f(z) , z } at all poles in u.h.p.
e^(-t)
= 2πi * ───
2i
= πe^(-t)
也就是原始積分 :
∞ cos(tx) 1
∫ ──── dx = ___ Re{ πe^(-t) }
0 1 + x^2 2
π
= ___ e^(-t)
2
(π/2)
即它的 Laplace Transform 是 _______
s + 1
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