Re: [理工] [工數]-高階ODE

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《mdpming (ｎＥｗ)》之銘言：
: 1.
:            2   2
: yy'' - (y') - y y' = 0
: 答案
:            c1
: y = ----------------
:          -c1*x
:      c2*e       - 1
: 我算到
:   1   1       1
: ----(--- - ------)dy = dx
:  c1   y     y+c1
:   y         c1*x
: ----- = c2*e
: y+c1
: 怎麼移都移不出來 還是我算錯了@@
: 2.
:            2   2       2 2
: yy'' - (y') = y lny - x y
: 答案
:             x      -x   2
: y = exp(c1*e + c2*e  + x + 2)
: 感謝 QQ

------

  1.
        yy'' - (y')^2 - (y^2)y' = 0

    →  (y^2)(y'/y)' - (y^2)y' = 0

    →  (y^2)(y'/y  -  y)' = 0


      <1>  if y^2 = 0  →  y = 0   (special solution)

      <2>  if  (y'/y  -  y)' = 0

            → y' - y^2 = c1*y

                   1
            →  ───  dy = dx
                y(y+c1)

                 1         y
            →  ── ln｜───｜ = x + c2
                 c1      y + c1

                  y          c1*x              c1*c2
            or  ─── = c3*e         ,  c3 = e
                y + c1


    若想整理成  y = f(x) 型態

    我都是這樣想:

      令  A = c3*e^(c1*x)

      所以   y/(y+c1) = A    →  y = Ay + c1*A
                             →  (1-A)y = c1*A
                             →  y = c1*A/(1-A)

------

   2.
        yy'' - (y')^2 = (y^2)lny - (x^2)(y^2)

    →  (y^2)(y'/y)' = (y^2)lny - (x^2)(y^2)

    →  (y^2)[ (y'/y)' - lny + x^2 ] = 0


      <1>  if y^2 = 0  →  y = 0   (special solution)

      <2>  if  (y'/y)' - lny + x^2 = 0

            → (lny)'' - lny = -x^2       ____ 視 lny 為 x 的二階線性 O.D.E.


            yc = c1*e^x +  c2*e^(-x)
            yp = x^2 + 2

            (過程省略)

           因此  lny = c1*e^x +  c2*e^(-x) + x^2 + 2

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◆ From: 140.113.141.151
推 iyenn:                神出手了,快拜m(_ _)m
推 ntust661:             神>///<
→ doom8199:＝＝
推 mdpming:~"~第二題 等等研究一下 吃晚餐..
→ doom8199:樓上好認真 @@ll  算到廢寢忘食OTZ
推 mdpming:=.=..資質不好 我剛補完習...
推 kagato:神出現了....m(_ _)m