※ 引述《smallprawn (水中瑕)》之銘言：
: 不好意思.再補問一題比較複雜的
: xy''+2y'+xy=0 (已知 y=(sin x /x) 為一解)
: 以下是我的算法...可是怪怪的...
: -1
: 令 y1=(sin x /x) 則 y2=uy1= ux sinx
: -1 -2 -1
: y'=u'x sinx+u(-x +x cosx)
: -1 -2 -1 -3 -2 -2 -1
: y''=u''x sinx+2u'(-x sin x+x cos x)+u(2x sinx-x cos-x cosx-x sinx)
: 代回原式 得
: -2 -1 -1
: u''sinx+u'2cosx+u(2x sinx-2x cosx-x sinx+cosx)=0
: 令 u'=v u''=v' => ..........
: 就整個很難算...
: 請問整組壞光光嗎= =...!?
: 請高手指點!!
: 3Q~
2
先將方程式換成y"+ ---y'+y=0
x
變係數線性ODE
已知一解直接降階
本題為齊性
直接代公式(reduction of order之結論)
-∫p(x)dx
e
另一線性獨立解y2=y1∫-------------dx
y1^2
2 -∫(2/x)dx
sinx x * e
y2= ------∫-----------------dx
x [sin(x)]^2
2 -2lnx
sinx x * e
= ------∫-----------------dx
x [sin(x)]^2
2 -2
sinx x * x
= ------∫------------dx
x [sin(x)]^2
sinx 2
= ------∫csc x dx
x
sinx cosx
= ------* -cotx = - ------
x x
cosx sinx
故 通解 y=c1------+c2------
x x
負號併入常數
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◆ From: 114.47.161.173