[理工] [現代]-厄米特矩陣 正交化法..

[mdpming (ｎＥｗ)]

1.

    4  2  2

A = 2  4  2    ,   find orthonormal eigenvectors

    2  2  4


過程上面有一點不懂得地方


λ1 = 8

      [1]
X = c1[1]
      [1]


λ2 = λ3 = 2


      [ 1]     [ 0]
X = c2[-1] + c3[ 1]
      [ 0]     [-1]


A 為實對稱矩陣 相異特徵值對應之特徵向量正交


<X1 , X2> = 0

<X1 , X3> = 0

<X2 , X3> ≠0


利用 Gram-Schmidt 正交化法

X2 , X3 化為正交向量 ψ2 , ψ3



              [ 1]                <X3.ψ2>
取 ψ2 = X2 = [-1]  , ψ3 = X3 - ---------- ψ2
              [ 0]                <ψ2,ψ2>



      [ 0]   -1 [ 1]    1 [ 1]
ψ3 = [ 1] - ---[-1] = ---[ 1]
      [-1]    2 [ 0]    2 [-2]


           ^^^^^
           -1
     1.    ---如何算來的
            2



當 λ2 = λ3 = 2



      [ 1]       1
X = c2[-1] + c3*--- = c2*ψ2 + c3*ψ3
      [ 0]       2


又


     [1]
X1 = [1]    ,  {X1,ψ2,ψ3} 為正交特徵向量
     [1]




          X1       1 [1]
取 U1 = ------ = ----[1]
        | X1 |    √3[1]



          ψ2       1 [ 1]
   U2 = ------- = ----[-1]
        | ψ2 |   √2 [ 1]



          ψ3       1 [ 1]
   U3 = ------- = ----[ 1]
        | ψ3 |   √6 [-2]



{U1,U2,U3} 為歸一正交特徵向量


2. 我不懂"為什麼"上面要這樣算出 U1,U2,U3 ...




然後另外一個解法是這樣



        ↓       ↓
      [ 1]     [ 1]
X = c2[ 0] + c3[-2]    老師把箭頭的地方圈起來
      [-1]     [ 1]
        ↑       ↑    寫這樣正交 為什麼這樣會正交@@




3個問題 能請高手解答一下嗎>"<


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 114.32.91.86
推 ntust661:= =
→ ntust661:內積等於零阿~
→ mdpming:哪一個問題阿@@
推 CRAZYAWIND:第三個阿
→ CRAZYAWIND:3X3還用G-S正交化太慢了  V1跟V2取外積給他就好了
→ mdpming:那位什麼1 跟 1 和 1 跟 -1 會等於0
推 ntust661:內積內積== =
推 CRAZYAWIND:1-1 = 0
→ mdpming:是我轉不過來嗎...這兩個怎麼內積.....
推 CRAZYAWIND:向量怎樣內積 這兩根就這樣內積= = 矩陣 等於向量
→ mdpming:能算一次給我看嗎....
推 youmehim:(1,0,-1)．(1,-2,1) = 0
推 CRAZYAWIND:就1+0-1=0 = =
→ mdpming:原來是這樣..=.=
→ mdpming:還有 第一個問題 跟 第2個問題><
推 CRAZYAWIND:1.你自己不是有寫了<X3.ψ2>/<ψ2,ψ2>
→ CRAZYAWIND:2.單位化正交
→ mdpming:那要怎麼運算...
推 CRAZYAWIND:1.上下各取內積  2除大小
→ mdpming:吃晚餐 等等研究一下><
推 youmehim:你應該複習一下單位化、正交的定義 XD