Re: [理工] [工數]-ODE

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《smallprawn (水中瑕)》之銘言：
:                      -x
: 1.y'''+4y''+5y'+2y=4e
:         -x     -x    -2x   2 -x
: 得 y=c1e  +c2xe  +c3e   +2x e


    原文恕刪部份

　　丟一下我的作法:


    回想一下巴斯卡三角形的係數:
               1
            1  1
         1  2  1
      1  3  3  1

    若我把第三排和第四排的係數加起來
    會是  1  4  5  2
    剛好和題目所給的 ODE 係數一樣
　　這不是巧合
　　因為:

        y''' + 4y'' + 5y' + 2y = 4e^(-x)

    →  (ye^x)''' + (ye^x)'' = 4    ____ 視 (ye^x)'' 為 x 的 1階 O.D.E.

    →  (e^x)(ye^x)'' = 4e^x + c1

    →  (ye^x)'' = 4 + c1*e^(-x)

    →  ye^x = 2x^2 + c1*e^(-x) + c2*x + c3

    →  y = 2x^2*e^(-x) + c1*e^(-2x) + c2*xe^(-x) + c3*e^(-x)


    您所解出來的特解是對的

:                     x
: 2.y'''+4y''+4y'=-3xe
:                    -2x     -2x         x       x
: 正確答案為 y=c1+c2e   +c3xe    -(1/3)xe +(5/9)e


    仿造前面的想法:

        y''' + 4y'' + 4y' = -3xe^x

    →  (y'e^x)'' + 2(y'e^x)' + (y'e^x) = -3xe^(2x)

    →  [(y'e^x)*e^x]'' = -3xe^(3x)

    →  y'e^(2x) = -(x/3)e^(3x) + (2/9)e^(3x) + c1*x + c2

    →  y' = -(x/3)e^x + (2/9)e^x + c1*xe^(-2x) + c2*e^(-2x)

    →  y =   [-(x/3)e^x + (1/3)e^x]
            + (2/9)e^x
            + c1*[(-1/2)xe^(-2x) - (1/4)e^(-2x)]
            + c2*(-1/2)e^(-2x) + c3

          = -(x/3)e^x + (5/9)e^x + (-c1/2)xe^(-2x) + (-c1/4 - c2/2)e^(-2x) + c3

          = -(x/3)e^x + (5/9)e^x + c1'*xe^(-2x) + c2'*e^(-2x) + c3


          其中  c1' = -c1/2
                c2' = -c1/4 - c2/2


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◆ From: 140.113.141.151
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.141.151      (01/03 23:18)
推 JaLunPa:跪拜
推 abcxyz123:這..不推不行!!
推 CRAZYAWIND:每次看到D大用這種解法 感覺就看到神蹟一樣= =
推 mdpming:請問這位高手 推甄應該有上吧..=.=
→ QQkimi:腰壽! 這不拜怎麼行呢! m(_ _)m
→ honestonly:每次看到D大用這種解法 感覺就看到神蹟一樣= = (推齊)
→ doom8199:突然發現我這做法有 bug , 尚待修正 QQ