作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [微積分]-積分
時間Thu Jan 7 00:17:08 2010
※ 引述《alwaysfind ( )》之銘言：
: 想請問一題積分，
: ∞
: ∫cos(x^2) dx
: 0
: 感覺好像很簡單，但我積不出來，
: 麻煩版上高手教一下~謝謝!
---
sol_1:
iz^2
考慮積分 ∮ e dz = 0
c
／|_
c3 ／ |_ c2 ----> 這個是 1/8 個圓(扇形) QQ
／ |_
／ |_
／________________|
c1
其中:
c1: straight line from z=0 to z=R
c2: 1/8 circle |z|=R from z=0 to z=e^(iπ/4)
c3: straight line from z=e^(iπ/4) to z=0
c: closed contour c1+c2+c3
iz^2 R ix^2
∮ e dz = ∫ e dx
c1 0
R R
= ∫ cos(x^2) dx + i∫ sin(x^2) dx
0 0
iz^2 π/4 i(R^2)e^(i2θ) iθ
∮ e dz = ∫ e iRe dθ
c2 0
iz^2 π/4 -R^2[sin(2θ)]
則 ｜∮ e dz｜ ≦ ∫ ｜e R｜dθ by M-L Inequality
c2 0
π/4 -R^2(2θ*m)
≦ ∫ ｜e R｜dθ for some m 屬於R>0
0
e^[-mR^2(π/2)] - 1
= ──────────
-2mR
→ 0 as R→∞
iz^2 (0,0) i[x^2 - y^2 + 2xyi]
∮ e dz = ∫ e (dx + idy)
c3 (1,1)R/√2
0 -2t^2
= (1+i)∫ e dt (set x=y=t)
R/√2
---
所以:
iz^2 iz^2 iz^2
∮ e dz + ∮ e dz + ∮ e dz = 0
c1 c2 c3
(when R→∞)
∞ ∞ ∞ -2t^2
→ ∫ cos(x^2) dx + i∫ sin(x^2) dx = (1+i)∫ e dt
0 0 0
比較係數後即可:
∞ ∞ ∞ -2t^2
∫ cos(x^2) dx = ∫ sin(x^2) dx = ∫ e dt ____(1)
0 0 0
√(π/2)
= ────
2
要經由複變的技巧，得到 (1) 式後
將積分區間 map 回實數空間
才能繼續算下去
------------------------------------------------------------------------------
sol_2:
∞ ∞ cos(x)
∫ cos(x^2) dx = ∫ ──── dx
0 0 √x
∞ 2 ∞ -xk^2
= ∫ cos(x) * ──∫ e dk dx
0 √π 0
2 ∞ ∞ -(k^2)x
= ──∫ ∫ cos(x) * e dx dk
√π 0 0
2 ∞
= ──∫ L{cos(x)} ｜ dk
√π 0 s=k^2
2 ∞ k^2
= ──∫ ──── dk
√π 0 k^4 + 1
最後的積分就是拆部分分式
後續積分就留給您算了
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.141.151
→ ntust661:推 01/07 00:18
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (01/07 00:18)
→ ntust661:婦便神手! 01/07 00:18
→ ntust661:話說積分要拆 x^2 + √2x + 1 x^2 - √2x + 1... 01/07 00:19
→ QQkimi:那不是扇形 T T 騙人 ... 01/07 00:21
推 boy210637:推!!! 強阿~ 真的強阿~ 01/07 00:24
→ doom8199:我不會畫圓 〒△〒 01/07 00:25
→ boy210637:敢問D大是上劉明昌的嗎?? 01/07 00:28
推 cccoco:太專業了@@" 01/07 00:28
→ doom8199:我沒補習的說XD 01/07 00:29
→ ntust661:有見過劉銘昌= = 01/07 00:29
→ ntust661:老老阿伯XD 01/07 00:29
→ cccoco:... 01/07 00:29
→ boy210637:是喔 因為你有些解法跟他的書好像 所以我才這樣覺得啦 01/07 00:30
推 kagato:神手的方法都大同小異!! 01/07 00:32
→ doom8199:那些方法複變課本上應該都有，我只是現學現賣XD 01/07 00:32