※ 引述《grateful (珍惜自己所擁有的一切)》之銘言：
: 想請教各位
: 無窮大 x^1/3
: ∫ =========== dx
: 0 (x^2+1)^2
: 這樣子的積分
: 要如何用複變解法算出
: 自己算了好多遍
: 答案都算出有複數
: 不曉得是哪邊的觀念錯誤
: 想請問各位我要如何計算這一題
: 可否告知計算過程是如何呢
: 感謝!!
: P.S 這題的答案是 3根號3分之拍
: 但我就是算不出來orz
: P.S2
: 可以請板上的高手幫我算算看此題的
: Res(i) 及 Res(-i)為多少嗎...囧
: 因為覺得自己可能是在這邊出錯
: 一直算習慣的盲點可能還是也沒注意到
: 因此才想要請教大家
: 另外像這題我的積分曲線有避開分支點 z = 0
: 可能真的是純粹計算上技術的問題@@
: 勞煩大家幫忙了
: 謝謝~
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令 c1: upper circle |z|=R from z=R to z=-R
c2: straight line from z=-R to z=-ρ
c3: upper circle |z|=ρ from z=-ρ to z=ρ
c4: straight line from z=ρ to z=R
c: closed contour c1+c2+c3+c4
考慮 z^(1/3) d z^(1/3)
∮ ───── dz = 2πi* lim ── ────
c (1+z^2)^2 z→i dz (z+i)^2
π i(π/6)
= ── e
3
z^(1/3)
由 ┌ lim ∫ ───── dz = 0
│ R→∞ c1 (1+z^2)^2
│ (有需要我在證明 OTZ)
│ z^(1/3)
└ lim ∫ ───── dz = 0
ρ→0 c3 (1+z^2)^2
z^(1/3) π i(π/6)
所以 lim ∮ ───── dz = ── e
R→∞ c (1+z^2)^2 3
ρ→0
1/3 i(π/3)
∞ x^(1/3) 0 x e iπ π i(π/6)
→ ∫ ───── dx + ∫ ────── e dx = ── e
0 (1+x^2)^2 ∞ (1+x^2)^2 3
∞ x^(1/3) π e^(iπ/6)
→ ∫ ───── dx = ── * ───────
0 (1+x^2)^2 3 1 + e^(iπ/3)
π 1
= ── * ──────
3 2*cos(π/6)
π
= ───
3√3
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