※ 引述《mdpming (紅艦鳴是 豕者)》之銘言：
: ※ 引述《iyenn (曉風)》之銘言：
: : Let y=vu
: : y'=v'u+vu'
: : y''=v''u+2v'u'+vu''
: : ->v''u+2v'u'+vu''+(2e^x-1)(v'u+vu')+e^2xuv=0
: : ->uv''+(2u'+(2e^x-1)u)v'+(u''+(2e^x-1)u'+e^2xu)v
: : pick u=e^(-e^x+(1/2)x)
: : ->v''-1/4v=0
: : v=c1e^1/2x+c2e^-1/2x
: : y=e^(-e^x)(c1e^x+c2)
: 這種解法 就是
: 1 2 1
: Q - ---P - ---P' = C ...
: 4 2
: 因變數變換法
: 所以看到二階變係數ode都可以直接用i大這解法 不用貝公式嗎
: 但是這應該有什麼條件不能用才對
: 因為要用字變數變換解
: 像
: 1 2 1
: Q - ---P - ---P' 不等於 C 之類的..
: 4 2
: 趁這一題把觀念弄清楚~"~
背公式前不忘推導
y = y(x)φ(x)
y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x)
y(x)φ''(x) + (2y' + P(x)y)φ' + ( y'' + P(x)y' + Q(x)y )φ = R(x)
(1) (2)
基本上你可以由這個式子看到兩種解法
(1) = 0 ， (2) = 0 任選一
阿我們常常說的因變數變換其實就是 (1) = 0
-∫P(x)/2 dx
(1)可以解出 y = e
然後帶回原式
y'' + P(x)y' + Q(x)y R(x)
φ'' + ( ─────────── )φ = ──
y(x) y(x)
y'' + P(x)y' + Q(x)y
看一下 φ = ───────────
y(x)
-∫P(x)/2 dx P(x)
y' = e ( - ── )
2
-∫P(x)/2 dx P(x) 2 -∫P(x)/2 dx P'(x)
y'' = e ( - ──) + e (- ──)
2 2
P(x) 2 P(x)' P(x)
ω = (- ──) + (- ── ) + (- ───) P(x) + Q(x)
2 2 2
2
P'(x) P(x)
= - ── - ──── + Q(x)
2 4
R(x)
φ'' + ( ω )φ = ──
y(x)
C
看到這種二階常微分，當然令 ω = C or ── 常係數，Cauchy - Euler 這種比較好!
x^2
阿你也可以不用是 C/x^2 或者 C
反正新的二階ODE你要解的出來就好了XDDD
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