推 QQkimi:神旨要聽 m(_ _)m 01/23 09:51
推 dtaya:非常感謝 01/23 10:07
※ 引述《dtaya (阿光)》之銘言：
: 97年中興機械的第一題
: x^2y''+xy'+y=sec(lnx)
: 請問一下這一題的特解要如何求解？
: 可令x=e^t最後做到
: 1
: yp=------(sect) 然後接著該如何求解？
: D^2+1
: 剛剛翻了一下參考書 上面寫了逆算子這樣的步驟
: 1
: yp=------(sect) =sint∫costsect dt-cost∫sint sectdt(其實不太明白怎麼來的)
: D^2+1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: =tsint+costln(cost)=ln(x)sin(lnx)+cos(lnx)lncos(lnx)
即使你不知道如何用逆運算子現有的工具去推論
可以回想當初你是如何算特解:
假設 二階O.D.E. y'' + y = f(t)
已知兩齊性解 sint、 cost
令特解為 yp(t) = u(t)*sint + v(t)*cost
所以
┌ sint cost ┐┌ u'(t) ┐ ┌ 0 ┐
│ ││ │ = │ │
└ cost -sint ┘└ v'(t) ┘ └ f(t) ┘
┌ u'(t) ┐ ┌ sint cost ┐┌ 0 ┐
→ │ │ = │ ││ │
└ v'(t) ┘ └ cost -sint ┘└ f(t) ┘
┌ f(t)*cost ┐
= │ │
└ -f(t)*sint ┘
┌ u(t) ┐ ┌ ∫ f(t)*cost dt ┐
→ │ │ = │ │
└ v(t) ┘ └ -∫ f(t)*sint dt ┘
因此 yp(t) = u(t)*sint + v(t)*cost
= (sint)∫ f(t)*cost dt - (cost)∫ f(t)*sint dt ____(1)
套用逆運算子的定義:
(D^2 + 1)y = f(t)
1
→ yp ≡ ──── f(t)
D^2 + 1
= (sint)∫ f(t)*cost dt - (cost)∫ f(t)*sint dt by (1)
------------------------------------------------------------------------------
對學工數的人來說
逆運算子的整個基本原理與計算
都是架構在 以前您所熟知解 yp 的方法
所以當遇到 逆運算子算不下去的窘境
切記請回到 Method of Undetermined Coefficients
與 Variation of Parameters
去解 yp
希望有解釋到你的疑惑 ︿︿
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