[理工] [線代]-Rank

[gn00618777 (123)]

Let A be an mxn matrices, P be an invertible mxm matrix, and Q be an
nxn natrix. Which of the following statements are true

(a) rank(AQ) = nullity(A)

(b) rank(AQ)=rank(A)

(c) rank(PA)=rank(P)

(d) rank(PA) = rank(A)
答: b,d

(b)和(d) 直接可看出來 因為AQ可以看成Q矩陣對A矩陣做行線性組合，其
 一個矩陣的線性組合取rank不變


問題1：那(c)呢，不是A對P做行的線性組合，取rank應該也不變不是嗎？

問題2： (a)錯我的理由如下 因為rank(AQ)=rank(A)

           所以 rank(AQ)+nullity(AQ)= n
                rank(A) +nullity(A) = n

         所以rank(AQ) 不一定等於 nullity(A)，最多也只是nullity(AQ)=nullity(A)
         不知道想法對不對~"~

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◆ From: 122.124.202.239
→ smartlwj:b要對的話 Q要可逆才可以吧
→ smartlwj:c的話 是等於rank(A) 不保証=rank(P)
→ smartlwj:因為rank(A)=min{m,n} 而 rank(P)=m
推 lovefo:為什麼b 也對? Q不一定可逆啊...
→ smartlwj:我猜原po漏打
→ gn00618777:我猜出題老師漏打
→ gn00618777:小黃解答有b
→ iyenn:找看看有沒有刊誤
推 polomoss:答案只有d