Re: [理工] [工數]-特殊laplace

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《smallprawn (水中瑕)》之銘言：
: ◎L{J (2√(at)}
:      0
: 如何先找出ODE的解去解這題?然後去解他= =?
: 而且要設立什麼樣的條件?!
: 又要再度麻煩高手了= =!!|||||

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   已知
         xy'' + y' + xy = 0   with   y(0)=1  ,  y'(0)=0

         的解為  y = J_0(x)


   令    x = 2√(at)

   則原 ODE 可改寫成

       ty'' +  y' + ay = 0    with  y(0)=1 , y'(0)=0

        ( 這裡的  y 是  y = y(t)  )

          d
   →  - ──[ (s^2)Y - s ] + (sY - 1) + aY = 0
          ds

   →  -[ 2sY + (s^2)Y' - 1 ] + sY - 1 + aY = 0

   →  (s^2)Y' + (s - a)Y = 0

                e^(-a/s)
   →   Y  = C ─────
                   s



    由  初值定理可知


       lim J_0[2√(at)]  =  lim  sL{J_0[2√(at)]}
      t→0                 s→∞

                         =  lim  C*e^(-a/s)
                           s→∞

                         = C
    →  1 = C

                 e^(-a/s)
   因此   Y  =  ─────
                    s


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    應該是這樣吧

    剛剛還去查了一下 Bessel 的定義 OTZ

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.141.151
→ doom8199:順便提醒一下，初值定理的 t是由 0+靠近的，忘了打 "+"
推 Dola1003:正解!
→ iyenn:   d大人真好 (遞卡
推 smallprawn:請問原來xy'' + y' + xy = 0.x代入.為什麼不等於
→ smallprawn:ty'' +  y' + ay = 0..= =!!?
→ smallprawn:不是2√(at)y'' +  y' + 2√(at)y = 0..!?
→ iyenn:變數要跟著變........
→ iyenn:微分項也要做代換......
推 smallprawn:我不才= =.請i大推導中間演變過程..
→ smallprawn:在此感謝d大 m(_ _)m

      xy'' + y' + xy = 0    →  這個是  y對x 的2階 O.D.E.

      若令 x = 2√(at)

       →  t = x^2/(4a)

         dy     dt   dy
        ── = ──*──
         dx     dx   dt

                x    dy
             = ──*──
                2a   dt

         d   dy      d    x    dy
       ── ── = ──[ ──*── ]
        dx   dx     dx    2a   dt

                    dy     d    x        x    d    dy
                 = ── * ──(──)  + ──*──(──)
                    dt     dx   2a       2a   dx   dt

                     1    dy     x     dt   d    dy
                 = ──* ── + ──* ──*──(──)
                    2a    dt     2a    dx   dt   dt

                     1   dy       x^2  d^2 y
                 = ──*──  +  ──* ───
                    2a   dt      4a^2  d t^2


    把上面那兩團代回原 O.D.E.

    再把變數 x 改成   2√(at)

    整理一下就可以得到  y 為 t 的二階 O.D.E.
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.141.151      (01/27 21:51)
推 smallprawn:m(_ _)m m(_ _)m m(_ _)m...感謝d大..
推 ntust661:帥壓!老埤!