Re: [理工] [工數]-傅立葉

[iyenn (曉風)]

※ 引述《lalala419 (啦啦啦)》之銘言：
: 成大電機96
: a.Find the Fourier cosine transform of f(x)=e^-x
: 答案 (2/π)(1/1+w^2)
:                                   ∞
: b.Use the above result to evaluate ∫ dx/(x^2+1)^2
:                                   0
: -------------------------------------------------
: ∫e^-2x  dx= π/2 ∫4/(π^2)  1/(1+w^2)^2  dw
: 最後答案是π/4
: 我是想說用Parserval 但不懂為何是 π/2
: 我寫∫f(x)^2dx = 1/2π ∫f(w)^2dw   這樣最後答案錯的 要帶π/2才對
: 怪怪的
: 不知道板友遇到這種 會怎麼想

a.
let g=e^-x


        2   ∞
F_c(g)=----∫e^-xcoswxdx
        π  0

        2     1
      =---- ------ =G(w)
        π   1+w^2


b.
            2 ∞
    F_c(g)=---∫e^-xcoswxdx=G(w)
           π 0

               ∞ 2    1
    F_c^-1(G)=∫---- ------coswxdw=g
               0 π   1+w^2

 ∞      ∞ ∞ 2    1
 ∫g^2dx=∫g∫---- ------coswxdwdx
 0       0  0 π   1+w^2

         ∞  1     2  ∞
        =∫---- ------∫gcoswxdxdw
         0 1+w^2  π  0

          2  ∞  1
        =---∫ (-----)^2dw
         π  0  1+w^2

故b所求積分為
π ∞        π
---∫e^-2xdx=---
2  0         4

因為這種沒背過,所以一般就當推倒算一次.這樣有清楚點嘛@@

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為者常成.行者常至

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◆ From: 123.193.214.165
推 bjackal:請問一下  在傅立葉COS 跟 SIN 轉換  2/π 是何時要加
推 gotohalf:cosine 和 sine 轉換有2/π@@ 可是我看講義上寫沒有耶
→ gotohalf:我看到時候還時自己推倒好了 以免被扣分XD
→ iyenn:看你習慣係數放正轉or逆轉. 都可以-,-
→ iyenn:這沒有統一歸定....所以很煩
→ iyenn:但2的結果會一樣,1的話應該差在係數