Re: [理工] [工數]-１階２次ＯＤＥ

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《zx33571163 (mm)》之銘言：
:  y     2y'
: --- =---------
:  x     1-(y')^2
: 如果令p=y'帶入
:        1-(y')^2
:    x =---------y  解的出來　　ＡＮＳ：y^2=2cx+c^2
:          2y'
: 那如果令p=y'帶入
:         2y'
:   y =---------x   我就解不出來了（解出來跟上面不一樣）
:       1-(y')^2
: 有高手可以ＴＲＹ一下的嗎

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    你沒講清楚下面要對 x微分還是對 y微分 OTZ

    我猜是對 x微分後的後續整理有問題

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    令  y' = p

    則          2p
          y = ────x
              1 - p^2

         (對x微分)

               2p       2p'(1-p^2) - 2p(-2pp')
    →   p = ──── + ─────────── x
             1 - p^2            (1-p^2)^2

          -p(1+p^2)     2(1+p^2)p'
    →    ───── = ────── x
           1 - p^2      (1-p^2)^2

          -dx      2 dp
    →   ── = ─────
           x     p(1-p^2)

                           p^2
    →  -ln｜Cx｜ = ln｜ ───── ｜
                          1 - p^2

                1
    →  p^2 = ───     帶回 原O.D.E.
              1 + Cx



    因此


               2/√(1+Cx)
          y = ────── x
              1 - 1/(1+Cx)

    →   Cy = 2√(1+Cx)

    →   (C^2)y^2 = 4 + 4Cx

    →    y^2 = (2/C)^2 + 2(2/C)x


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.64.93.41
推 zx33571163:上面那個對X微下面哪個對Y微
→ zx33571163:理論上2個應該都算的出來
→ zx33571163:我對Y微算不出來   我只是想驗證依下2個答案一不一樣
→ iyenn:d大尻出來了          (逃
推 zx33571163:我是對Y微微不出來= =  剛沒講清楚...

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               2p
         y = ────x
             1 - p^2

           (對 y微分)

                2       2p'(1-p^2) - 2p(-2pp')
    →   1 = ──── + ─────────── x
             1 - p^2          (1-p^2)^2

          -(1 + p^2)       2(1+p^2)p'
    →    ─────  =  ────── x
            1 - p^2        (1-p^2)^2

          dx        -2 dp
    →   ──  =  ─────
          x        (1-p^2)

    →  ln｜Cx｜ = ln｜1-p^2｜


    →  p^2 = 1 - Cx    帶回 原O.D.E.


    因此

               2√(1-Cx)
          y = ──────  x
              1  -  (1-Cx)

    →  Cy = 2√(1-Cx)

    →  (C^2)y^2 = 4 - 4Cx

    →  y^2 = (-2/C)^2 + 2(-2/C)x


  　基本上只是常數型態不太一樣

　　讓你覺得解長的不太一樣

　　其實通解的集合都是描述同一件事情
※ 編輯: doom8199        來自: 61.64.93.41          (01/31 22:05)
→ iyenn:    偶像     >////<