Re: [理工] [工數]-98成大工科PDE

[CRAZYAWIND (怒火燒不盡)]

※ 引述《hihaka2001 (hihaka)》之銘言：
: Utt=Uxx+F(x,t)
: U(0,t)=U(L,t)=0
: U(x,0)=p(x)
: Ut(x,0)=0
吃光光 表演要舞台

令U(x t) = ψ(x t) + φ(x t)

代回pde中

ψ (x t) + φ (x t) = ψ (x t) +φ (x t) +F(x t)
 tt         tt         xx        xx

令ψ (x t) = ψ  (x t)
   tt          xx

  φ (x t) = φ (x t) +F(x t)
   tt         xx
U(0 t) = ψ(0 t) + φ(0 t) = 0    φ(0 t) = ψ(0 t)=0

U(L,t) = ψ(L t) + φ(L t) = 0     φ(L t)= ψ(L t)=0

Ut(x,0)= ψt(x 0) + φt(x 0) = 0   ψt(x 0) = φt(x 0)=0

U(x,0)=ψ(x 0) + φ(x 0) = p(x)    令ψ(x 0)=p(x)  φ(x 0)=0


(1)
                         nπx ∞
先解φ(x t) 特徵函數{sin── }n=1
                         L
         ∞          nπx           ∞         nπx
φ(x t)= Σ an(t)sin ──    F(x t)=Σ qn(t)sin──
         n=1          L             n=1          L

代回PDE中
∞            nπ 2                 nπx
Σ [an(t)" +(──) an(t)  -qn(t)]sin── =0
n=1           L                       L

由an(0) = an'(0)

          t   L      nπ
an(t) = ∫  ── sin──(t-τ)qn(τ) dτ
          0  nπ     L



(2)                    nπx  ∞
解ψ(x t) 特徵涵數 {sin── }n=1
                         L
        ∞          nπx
ψ(x t)=Σ bn(t)sin ──
        n=1          L

代回pde中
∞            nπ 2          nπx
Σ [bn(t)" +(──) bn(t) ]sin── =0
n=1            L               L
             nπ          nπ
bn(t)= Ancos──t + Bnsin──t
             L             L
        ∞        nπ          nπ      nπx
ψ(x t)=Σ [Ancos──t + Bnsin──t]sin ──
        n=1       L             L        L

ψt(x 0) = 0 =Bn
                 ∞       nπx
ψ(x 0) = p(x) = Σ Ansin ──
                 n=1       L
      2    L        nπx
An = ──∫  p(x)sin──dx
      L    0         L

          ∞    2    L        nπx        nπ       nπx
ψ(x t) = Σ [ ──∫  p(x)sin──dx] cos──t sin ──
          n=1   L    0         L          L          L
         ∞   t    L      nπ                     nπx
φ(x t)= Σ [∫  ── sin──(t-τ)qn(τ) dτ]sin ──
        n=1   0   nπ     L                         L

U(x t) = ψ(x t) + φ(x t)

獻醜了= =

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.105.159.190
→ lalala419:我也是這樣解  板上好像都沒人補高成= =
推 kagato:我也會這樣解=   = 修邊界比較好算XD
推 boy210637:耶!! 我算對了 我好感動 T_T
→ CRAZYAWIND:聽說這題會算的話就贏過1/2考成大工科的了= =
→ boy210637:不過我沒報工科ˊˋ
→ doom8199:跟上一篇一樣， g_n(t) 是自己假設的變數
→ doom8199:應該要由 F(x,t) 表示才對。
→ doom8199:這樣最後表示出來的解比較完整
→ CRAZYAWIND:應該沒辦法用F(x,t)來表示吧 @@~ F(x,t)都展成係數了
→ CRAZYAWIND:而且都經過Dehamel的積分 而且他本身都是未知的函數了
推 doom8199:可以阿，左右同乘 sin(nπt/L)  對t積分
→ doom8199:就跟你在求 a_n(t) 的過程完全一樣
推 boy210637:恩恩  是這樣沒錯
→ doom8199:打錯，是對x微分
→ boy210637:2/L∫ F(x,t)sin(nπx/L)dx 是這樣沒錯吧
→ doom8199:嗯嗯，把它帶進去 g_n(t) 才算完工
※ 編輯: CRAZYAWIND      來自: 59.105.159.190       (02/01 01:22)