→ iyenn:這題積分常常有人問-,- 02/03 14:54
推 wdali:太感謝了 02/03 17:12
※ 引述《wdali (陣雨)》之銘言：
: 2.
: http://www.wretch.cc/album/show.php?i=gratempm&b=3&f=1299464518&p=9
: 這題用參數變異法在積分的時候卡關 請高手指點
y_h(x)=c_1e^(-x)+c_2e^(4x)
令y_p(x)=A(x)e^(-x)+B(x)e^(4x)
y_1(x)=e^(-x)
y_2(x)=e^(4x)
g(x)=[1/(x^3)]e^(4x)*(5x-2)
│y_1 y_2 │ │e^(-x) e^(4x) │
w(x)=│ │= │ │= 5e^(3x)
│ │ │ │
│y_1' y_2'│ │-e^(-x) 4e^(4x) │
g(x)*y_2(x) [1/(x^3)]e^(4x)*(5x-2)*e^(4x)
A(x) = -∫────── dx = -∫─────────────── dx
w(x) 5e^(3x)
(5x-2)e^(5x)
= -∫────── dx = ∫-x^(-2)*e^(5x) dx + ∫(2/5)x^(-3)*e^(5x) dx
5x^3
= ∫-(1/5)x^(-2)*[e^(5x)]' dx + ∫(2/5)x^(-3)*e^(5x) dx
= -(1/5)x^(-2)*e^(5x)-∫[-(1/5)x^(-2)]'*e^(5x) dx+∫(2/5)x^(-3)*e^(5x) dx
= -(1/5)x^(-2)*e^(5x)-∫(2/5)x^(-3)*e^(5x) dx + ∫(2/5)x^(-3)*e^(5x) dx
= -(1/5)x^(-2)*e^(5x)
g(x)*y_1(x) [1/(x^3)]e^(4x)*(5x-2)*e^(-x)
B(x) = ∫────── dx = ∫─────────────── dx
w(x) 5e^(3x)
5x-2
= ∫──── dx = ∫x^(-2) dx - ∫(2/5)x^(-3) dx
5x^3
= -x^(-1) + (1/5)x^(-2)
所以
y_p(x)=[-(1/5)x^(-2)*e^(5x)]e^(-x)+[-x^(-1) + (1/5)x^(-2)]e^(4x)
=-(1/5)x^(-2)*e^(4x) - x^(-1)*e^(4x) + (1/5)x^(-2)*e^(4x)
=-x^(-1)*e^(4x)=(-1/x)*e^(4x)
y=y_h+y_p
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