[理工] [工數]-PDE

[DTpower (三/]\)]

因為我沒有補習 自己買周易的書來看

我有些作法看不懂 例如解PDE我大概只會分離變數

他卻用特徵函數展開直接做 我不太懂為什麼

ex.
     2
Utt=c Uxx    B.C  U(0,t)=U(1,t)=0

             I.C  U(x,0)=x  Ut(x,0)=0

我用分離變數的解為


          n+1
     2(-1)
U=Σ--------- cos(cnπt) sin(nπx)
      nπ

但是用它的特徵函數展開法答案卻是


         n+1
     8(-1)           2n-1           2n-1
U=Σ----------- cos(-----πct) sin(-----πx)
          2  2        2              2
    (2n-1) π



我嘗試想要去讓n=1試試看兩個解長的樣子

但是好像...


拜託板上大師們幫幫我 T_T

感謝。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.112.244.250
→ kagato:他的答案是展 B.C  U(0,t)=Ux(1,t)=0
→ DTpower:= =我眼殘看錯題目 害我嚇死了
→ DTpower:不過樓上k大也太神了看到答案還可以知道邊界 強
→ IMISSA:沒差 特徵函數做據說會扣分 乖乖分離變數吧
→ DTpower:感覺像是神來一筆的招式 感謝眾板大 大家考試加油
→ doom8199:用特徵函數展開是因為那些函數可以確保在實函數 是完備集
→ honestonly:特徵函數的代價也很大...要分部積分 囧rz
→ honestonly:周易的做法是 先由B.C.看出 特徵函數
→ honestonly:然後 令u等於balabala
→ honestonly:接著 pde 等號兩側 同時乘以特徵函數 且積分0~L
→ honestonly:接著就 兩邊積一積 就會整理到跟分離變數差不多的結果
→ honestonly:邊界齊性跟非齊性都可以展開 只是非齊性展開的收斂不好
→ honestonly:所以都先話齊性 再展開 收斂速度會比較好
→ honestonly:有些pde 雖然邊界齊性 但是也沒有辦法直接展開
→ honestonly:ex:Ut=Uxx+Ux 這種 雖然條件上是給u(0,t)=u(L,t)=0
→ honestonly:但事實上他的特徵函數 並不是sin (npix/L)
→ honestonly:所以 要用分離變數 去找特徵函數 或是用e^ax+bt去化齊
→ honestonly:性
→ honestonly:老師是說 看得出來 特徵函數 就展開 看不出來就分離變
→ honestonly:數 題目要求什麼就用什麼去做
→ iyenn:他答案有錯,你把BC代進去就知道 U(1,t)=0不合了