推 ntust661:推^^ 02/13 21:05
※ 引述《ntust661 (Auf Wiedersehen!)》之銘言：
: 請問我下面的理解，有錯嗎??
: 逐點收斂:只要函數序列Pn(x)在 x = x0 的n項增加，能靠近本身的f(x0) 的極限值。
: 則此稱為逐點收斂。
: 一致收斂:要使函數序列Pn(x)在n項以後，能使其函數完全逼近f(x)，
^^^^
完全逼近@@?
: (均勻)
: 則此稱為一致收斂。
均勻收斂應該說是對於任意的誤差值ε> 0 , 都存在一個δ> 0
使得對於所有的n > δ
都能滿足 | f(x) - Pδ(x) | < ε for all x in domain
講的明白一點, 就是可以確定在某個 n >δ之後的函數都可以縮到 f ±ε 這個小區間
而且不管 x 是多少 ( 當然, 得在 domain 內 )
: 關於分別的話，小弟覺得一致收斂強度比逐點收斂高
: 因為逐點收斂似乎不太考慮連續性....
差在逐點收斂是
就算我們固定住某個特定的ε
但對每一個不同的x , 就有可能會存在不同的δ,
( 在這裡我暫時稱它為 δx )
才能使得 Pn(x) 縮進 f(x) ±ε 這個小區間
然而均勻收斂則是只要一個明確的δ就一定能滿足所有的 x
沒想清楚的時候可能會覺得說
反正「取最大的那個δx當作整體的δ」不就可以使所有的 Pn(x) 都足夠接近 f(x) 了嗎?
但是這對某些圖形是不可能的 (因為最大的那個δx不存在)
例子請參照下圖
f(x) = { 0 if x < 1 f: [0, 1] -> R
{ 1 if x = 1
n
Pn(x) = x Pn: [0, 1] -> R
^
1 | . (1,1)
| | ... Pn(x)
| / --- f(x)
ε |----------------/-- --- f(x) + ε
| ˊ
| ____..ˊ (抱歉美工很差...)
|....***
--+------------------------->
| 1
你會發現不管 n 再怎麼大
Pn 總是會有點在藍線上面
也就是縮不進去 f + ε
然而當 n -> ∞ 時, Pn -> f
所以他是逐點收斂, 可是沒有均勻收斂
--
這樣有回答到問題嗎@@?
才疏學淺, 有錯煩請指正
--
人家可不是為了你才這樣做的哦!
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 60.198.35.85
※ 編輯: dendrobium 來自: 60.198.35.85 (02/13 03:24)