Re: [理工] [線代]-正負定

[BLUEBL00D (藍血魂)]

※ 引述《zx33571163 (mm)》之銘言：
: Q on the subspace M={x: x1 + x2+ x3 =0}
: is 正定 負定 不定?
: (2)
: P:M->M
: M在P上代表矩陣A
: 如果A負定 則P在M上負定   如何證明?
1.

  M=Span({[1 -1 0]^T , [1 0 -1]^T})  , ^T為轉置

LET V1=[1 -1 0]^T  ,  V2=[1 0 -1]^T

<1> V1^T Q V1 =-2

<2> V2^T Q V2 =-2

<3> LET X=c1V1+c2V2

    X^T Q X =c1(-2)+c2(-2) => 正負不定

應該是這樣

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◆ From: 218.160.245.23
→ EntHeEnd:不可以直接說因為Q不是正(半)定 也不是負(半)定矩陣
→ EntHeEnd:所以正負不定嗎 ?
→ EntHeEnd:還是說限縮定義域有可能改變這些性質 ?
→ EntHeEnd:剛剛看一下課本 好像真的要這樣檢查 ...
→ BLUEBL00D:怎樣檢查??
→ EntHeEnd:不知道理解有沒有錯誤... 他檢查是fall all x !=0
→ EntHeEnd:x^tQx <0 是負定 那個for all 是對他的定義域所有元素
→ EntHeEnd:如果定義域縮小 就要針對定義域檢查 不知道有沒有理解錯
→ EntHeEnd:還是要針對Q本身檢查是不是負定矩陣阿...?
→ EntHeEnd:他題目問說P在M上是否負定 似乎就是檢查M就好了 ?
→ BLUEBL00D:要是沒限制的話不用檢查全部  看特徵值就好
→ BLUEBL00D:有限制的話再找基底檢查吧
推 EntHeEnd:所以說原本不是正定也不是負定的matrix 在有限制下可能是
→ EntHeEnd:變成正定或負定嗎 ?
→ EntHeEnd:因為檢查特徵值 Q原本是不一定
→ BLUEBL00D:YES  只是有可能而已  所以要檢查看看
→ EntHeEnd:喔喔喔 感謝回答 !
→ BLUEBL00D:不過這感覺是超冷門的題型  寫了好多年都沒看到類似的
推 EntHeEnd:不過感覺是最根本的觀念耶 弄清楚比較好...
→ EntHeEnd:不然我會檢查完特徵值就想說他不是正負定了...
推 EntHeEnd:我最後帶出來的X^tQX 是 -2C1^2 -2C1C2 -2C2^2 @@
→ EntHeEnd:Quadratic form 似乎不是 Linear transformation...