→ aiaorry:卡方轉成gamma的β不是2嗎?!怎麼會是1/2?! 02/14 13:48
→ goshfju:我習慣把gamma的參數放 λ λ= (1/β) 02/14 13:49
→ aiaorry:謝謝~~~ :] 02/14 13:55
※ 編輯: goshfju 來自: 218.167.67.242 (02/14 13:58)
※ 引述《aiaorry (我不想皺眉頭)》之銘言：
: Let X1, X2 and X3 be independent normal random variables, with X1~N(1,σ^2),
: X2~N(-1,σ^2) and X3~N(0,σ^2).
: Let q(X)=[(X1^2)+(X2^2)+(2*X3^2)+2*X1*X2] / 2.
: Find the distribution of q(X).
: 轉到後面有點卡住，
: 請教各位這題解法，
: 謝謝。
2
X1 + X2 ~ N(0, 2σ )
(X1^2 + X2^2 + 2X1X2) = (X1+X2)^2
2 2
(X1+X2)^2 / √(2σ ) ~ χ (1)
2 2
(X3/σ) ~ χ (1)
2 2 2 2 2 2
q(X) = { [(X1+X2)/√(2σ )] + (X3/σ) } * σ ~ χ (2) * σ
不熟卡方及gamma就只能寫到上面那樣了
但其實 :
2
1. χ (v) = Γ( v/2 , 1/2)
2. X ~ Γ( α,λ ) → aX ~ Γ( α,λ/a )
3. Exp( λ ) = Γ( 1 , λ)
所以 :
2
χ (2) ~ Γ( 1 , 1/2 )
2 2
q(X) ~ Γ( α=1 , λ=1 /2σ ) = Exp( λ= 1/2σ )
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