Re: [理工] [工數]-PDE

[iyenn (曉風)]

※ 引述《wdali (陣雨)》之銘言：
: 題目
: http://www.wretch.cc/album/show.php?i=gratempm&b=10&f=1360584188&p=3
: 想請問為何是Y適合做特徵展開?
: 另外為何由方程式可看出特徵函數??
: 順便問一下  看得出特徵函數的話 考試是可以直接用特徵函數展開
: 還是也必須先做變數分離(題目沒指定)
: 我看前面好像有人說不能直接用特徵函數展開 @@

雖然拉普拉式的解形式是可以猜的.

但我的習慣是奇怪的B.C.就都討論.

畢竟也不會花多少時間.卻能讓你的分數平平安安.

1.分離變數
let u=XY =>PDE

X'' Y''
---+---=0
X   Y

2.討論BC

  Y''+KY=0
  Y'(0)=0
  Y'(b)-rY(b)=0

        For k>0 let k=w^2 ,w>0

         Y=c1coswy+c2sinwy

          Y'(0)=0
          =>C2=0

          Y'(b)-rY(b)=0=c1{-wsinwb-rcoswb}

          =>tanwb=-r/w
          =>w=α_n ,α_n為tanwb與-r/w之第n個根
          =>c1≠0
          =>Y=C1Cosα_ny

        For k=0
         Y=c1y+c2
          Y'(0)=0
          =>C1=0

          Y'(b)-rY(b)=0
          =>C2=0

        For k<0 ,let k=-w^2 w>0
         Y=c1sinhwy+c2coshwy
          Y'(0)=0
          =>c1=0

          Y'(b)-rY(b)=c2{wsinhwb-rcoshwb}
          =>tanhwb=?=r/w
          如果直接用看的話,這邊就會出現問題.
          因為這邊可能有一解!! (if r>0)
          =>w=β 為tanhwb=r/w之根
          =>c2≠0



  故k=(α_n)^2   k=-β^2
    Y=cosα_ny   Y=c2coshβy


  X''-KX=0  =>k=(α_n)^2    ,k=-β^2
  X'(0)=0     X=dncoshα_nx ,X=d0cosβx

3.總結
                       ∞
  u=A0cosβxcoshβy + sumAncoshα_nxcosα_ny
                       n=1

                                  ∞
  ux(a,y)=γ=-A0βsinβacoshβy + sumAnα_nsinhα_nacosα_ny
                                  n=1

                <γ,coshβy>
  -A0βsinβa=------------------
               <coshβy,coshβy>

                    <γ,cosα_ny>
  Anα_nsinhα_na=-------------------
                  <cosα_ny,cosα_ny>


4.把值算出來帶回去,就可以了

以上有錯請指正m(_ _)m

大家新年快樂 :)

繼續來摸個幾圈XD



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只要不斷追問,就能找到答案.

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※ 編輯: iyenn           來自: 123.193.214.165      (02/16 00:14)
推 wdali:謝謝
→ honestonly:用奇怪的B.C.討論+1 先苦後甘
推 QQkimi:從摸幾圈來複習PDE m(_ _)m
→ iyenn:摸幾圈應該跟PDE沒有關係-,-