Re: [理工] [工數 控制]-u(t)的拉式

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《ckris1945 (ckris)》之銘言：


    原文吃光光




    一般沒有講清楚的話

    所謂的 Laplace Transform 會定義如下:


                 ∞      -st
      L{f(t)} = ∫  f(t)e    dt
                 0


    可知當 f(t) 不論等於  1  還是  u(t)

    L{f(t)} 皆為  1/s


          -1
    那   L  {1/s}    到底要寫成 1  還是  u(t) 呢?


---


    http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform


    首先看一下維基百科上的 inverse 公式:


               1        r+iT       st
      f(t) = ──  lim ∫     F(s)e   ds
             2πi T→∞ r-iT



    這個公式可以由 Fourier Transform Pair 直接推出來

    但其相對應的 LT 公式型態卻非我們常用的

    而是:


                 ∞       -st
      L{f(t)} = ∫   f(t)e    dt    (注意到積分下限是負無窮大)
                 -∞


    上面的轉換又稱為 Bilateral Laplace Transform



    也就是完整的  Laplace Transform Pair 為如下:


                            ∞       -st
     ┌  L{f(t)}  = F(s) = ∫   f(t)e    dt
     │                     -∞
     │
     │  -1                  1        r+iT       st
     └  L {F(s)} = f(t) = ──  lim ∫     F(s)e   ds
                           2πi T→∞ r-iT


    這樣的定義就能確保 f(t) 和 F(s) 皆為 one to one mapping (如果積分皆存在)



------------------------------------------------------------------------------


    回到你問的問題

    若你能接受上述的定義

    那應該不難推論出

    當   f(t) = 1 時

    套  Bilateral Laplace transform 反而會發散

    而  L{u(t)} = 1/s   for  Re{s}>0

            -1
    因此   L {1/s} = u(t)   if Re{s}>0

    寫 1 , 嚴格上算錯的





    另外若問  1/s 的 inverse Laplace Transform

    完整上要這樣寫:


       -1
      L {1/s} = ┌ u(t)   if  Re{s}>0
                └ u(-t)  if  Re{s}<0


    只是我們在討論訊號時

    通常是把  t=0 視為初始時間

    而討論訊號  t>=0 的變化


    所以做  inverse LT 時

    在 s-domain 下所考慮的區間

    就只會做對應到 t-domain 在 t>=0 時才有訊號




    若想辦到以上所述

    最直接的方法就是把訊號 f(t) 整個乘上 u(t)

    如此一來再套 Bilateral Laplace Transform 時

    就會變成一般熟知的  Laplace Transform :


                      ∞           -st
      L{f(t)u(t)}  = ∫   f(t)u(t)e    dt
                      -∞

                      ∞       -st
                   = ∫   f(t)e    dt
                      0




    結論就是

    做完 inverse LT 後

    養成習慣，把整個 f(t) 再多乘上 u(t) 就對了

    (可以看維基百科上所列的公式，都有乘上 u(t) XD)

    當然不乘上  u(t) , 而在後面註明  t>=0 也可以

    只是兩者的涵意不太一樣



    乘上 u(t) 後

    才是完整的 inverse Laplace Transform (相對應於 s-domain 的某區間)


    只有註明 t>=0

    代表只考慮 f(t) 在 t不小於0 的值

    而在 t<0 下，就未定義(或計算) f(t) 之值


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