Re: [理工] [線代]Jordan矩陣的問題

[a53285315 (娘)]

    [ 2 0 0 0]
A = [-1 2 0 2]          可得 det(xI-A) = (x-2)^4
    [ 0 0 2 1]
    [ 0 0 0 2]


A-2I = ...      可得 rank(A-2I) = 2
                即 nullity(A-2I) = 2

(A-2I) = ...    可得 rank(A-2I)^2 = 0
                即 nullity(A-2I)^2 = 4

點圖如右        o o
                o o

                [0] [0]                          [0] [0] [1] [0]
N(A-2I) = span{ [1] [0]}        N(A-2I)^2 = span{[1] [0] [0] [0]}
                [0] [1]                          [0] [1] [0] [0]
                [0],[0]                          [0],[0],[0],[1]

取 x_2 = [1 0 0 0]^T  屬於 ker(A-2I)^2 - ker(A-2I)

可得 (A-2I)x_2 = [0 -1 0 0] = x_1  屬於 ker(A-2I)


取 x_4 = [0 0 0 1]^T  屬於 ker(A-2I)^2 - ker(A-2I)

可得 (A-2I)x_4 = [0 2 1 0] = x_3  屬於 ker(A-2I)


則可得 {x_1 x_2 x_3 x_4} L.I. 為一組基底

                                                [2 1 0 0]
取 P = [x_1 x_2 x_3 x_4]        可得 P^(-1)AP = [0 2 0 0]
                                                [0 0 2 1]
                                                [0 0 0 2]


以上
第一次打矩陣的東西 真麻煩啊 = =


※ 引述《lovefo (lovefo)》之銘言：
: ※ 引述《benbchung (距離...是妳經過我的時候)》之銘言：
: : | 2  0  0  0|
: : |-1  2  0  2| = A
: : | 0  0  2  1|
: : | 0  0  0  2|
: : 小弟計算出來特徵值四個都是2
: : 特徵向量X1=[0 1 0 0]
: :         X2=[0 0 1 0]
: : 少2個特徵向量
: : 代入(A-2)X3=X2
: : 得X3=[2 0 0 1]
: : 但是代入(A-2)X4=X3卻發生無解的情形
: : 能否幫小弟看一下是哪裡計算錯誤了?
: 我的做法好像跟你們不一樣
: 不過還是有些問題
: Pa(x) = (2-X)^4
: 點圖:
:        V1  V2 V3
:         O  O  O
:               V4
:               O
: V1=ker( (A-2I)^3) - ker( (A-2I)^2)
:       | 0  0  0  0| | 0  0  0  0|   | 0  0  0  0|
: A^2=  |-1  0  0  2| |-1  0  0  2| = | 0  0  0  0|
:       | 0  0  0  1| | 0  0  0  1|   | 0  0  0  0|
:       | 0  0  0  0| | 0  0  0  0|   | 0  0  0  0|
: A^3 也是 0 矩證 相減不就都沒了...
: 真不知道該怎麼做
: 請大大指點迷津吧

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◆ From: 111.255.66.43
→ lin19890211:不懂點圖是什麼= =?
→ a53285315:點圖不懂啊 ... 我不知道怎麼用文字簡短解釋
→ a53285315:課本多翻幾次吧 = = 抱歉
→ a53285315:重新看了原PO補充的敘述 其實只要求出jordan form 就好
→ a53285315:那我寫的這些步驟 有一部分就是多寫的了 哈哈
推 benbchung:謝謝大大給這麼詳細的解答:)
推 lovefo:感謝 我懂了
推 lin19890211:還真難 明年要當炮灰了ˊˋ