推 ntust661:Great! 02/21 19:51
※ 引述《uniqueco (寶)》之銘言：
: 1.
: ∞ 1
: ∫ ------------ dx
: 1 x√[(x^2)-1]
: 這題積分下限是1...
: 不知道該怎麼解
: 麻煩高手幫忙><
: 2. 2
: ∞ sin x
: ∫ --------dx
: 0 x^2
: 是不是只要對x=0的二階pole取Res就可以呢?
: 感謝大家..
n大提供了一個不用複變的方法
我也提供一個微積分的方法
∞ sinxcosx ∞ (1/2)sin2x ∞ sin2x
首先考慮 ∫ ----------dx = ∫ ------------dx =(1/2)∫ -------d2x
0 x 0 x 0 2x
= (1/2)*(π/2) = π/4
接下來對上面的式子做 integral by part 2
∞ sinxcosx ∞ sinx sin x ∞ ∞ sinx
∫ ---------dx = ∫ ------ dsinx = -------| - ∫ sinx d ------
0 x 0 x x 0 0 x
2 2
∞ xsinxcosx-sin x ∞ sinxcosx ∞ sin x
= -∫ ----------------- dx = -∫ ----------dx + ∫ -------dx
0 x^2 0 x 0 x^2
2
∞ sinxcosx ∞ sin x
=> 2∫ ----------dx = ∫ -------dx
0 x 0 x^2
2
∞ sin x π
=>∫ ------ dx = 2 * (π/4) = ----
0 x^2 2
這題出自 Tom M.Apostol 的 Mathematical Analysis第10章習題第10題
有興趣可以看看
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※ 編輯: smartlwj 來自: 123.195.0.199 (02/21 19:51)