推 topee:大大真強!!你直接用積的..最後一題我是用等比級數算的. 02/28 00:17
→ topee:算法我大概知道只是不太會分什麼時候用RE 或IM ... 02/28 00:18
→ topee:現在了解 很感謝你.. 02/28 00:19
y
※ 引述《topee (eason)》之銘言：
: 題目:
: y"+ y = cosx 這題用Re
先計算 yh
y'' + y = 0
mx
令 y = e
2 mx
(m + 1) e = 0
m = ±i
mx
帶入 y = e
得到
yh = c1 cosx + c2 sinx
再來計算 yp
ix
利用 cosx = Re{ e }
以及逆運算子特性
1 ix
───── Re {e }
D^2 + 1
=
ix 1
e ────────
(D + i)^2 + 1
=
ix 1
e ────────
D^2 + 2iD
=
ix 1
e ─────── [ 1 ]
D (D + 2i)
=
ix 1
e ───── x
D + 2i
=
ix -2ix 2ix
e ( e ∫ x e dx )
=
ix -2ix 1 2ix 1 2ix
e (e [─── x e + ─── e ] )
2i 4
=
ix -i 1
e (──── x + ───)
2 4
=
-i 1
(cosx + isinx)( ── x + ───)
2 4
=
x 1 1 1
( ── sinx + ─── cosx ) + (─── sinx - ─── x cosx)i
2 4 4 2
↓ ↓
實部 虛部
Re 就是取實部
x 1
yp = ── sinx + ─── cosx
2 4
通解
x 1
y = c1 cosx + c2 sinx + ──sinx + ─── cosx
2 4
1
因為 ─── cosx 與 齊性解重疊到
4
1
所以把 ─── cosx 吸收進去 c1 cosx 裡面
4
最後得解
x
y = c1 cosx + c2 sinx + ──sinx
2
: y"-2y + 5y = e^x cosx 這題也用Re
這題就不多講解囉
2 ± √(4 - 20)
m = ─────── = 1 ±2i
2
x
yh = e (c1 cos2x + c2 sin2x)
1 x
yp = ───── (e cosx)
D^2 - 2D + 5
1 (1 + i)x
yp = ────── Re {e }
D^2 - 2D + 5
(1 + i)x 1
= e (─────────────)
(1 + i)^2 - 2(1 + i) + 5
( 1 + i )x 1
= e ────
3
1 x
yp = ──── e (cosx + isinx)
3
1 x
= ──── e cosx
3
x 1 x
y = e (c1cos2x + c2sin2x) + ── e cosx
3
: y" + 25y = -6x sin5x 這題用Im
yh = c1 cos5x + c2 sin5x
1 5ix
yp = ───── (Im {-6x e } )
D^2 + 25
5ix 1
= e ──────── -6x
(D + 5i)^2 +25
5ix 1
= e ─────── -6x
D^2 + 10iD
5ix 1 2
= e ─────── -3x
D + 10i
5ix -10ix 2 10ix
= e (e ∫ -3x e dx )
5ix -10ix 1 2 10ix -1 10ix -1 10ix
= e (e [─── -3x e - ───(-6x)e + ─── (-6) e ] )
10i 100 1000i
2
5ix 3x i 3x 3i
= e (── - ── - ─── )
10 50 500
2
3x i 3x 3i
= (cos5x + isin5x) (── - ── - ───)
10 50 500
2
3x 3 3x
= ─── cos5x - ─── cos5x - ──── sin5x
10 500 50
齊性解消去
2
3x 3x
y = c1 cos5x + c2 sin5x + ─── cos5x - ── sin5x
10 50
: 請問一下
: 要怎麼分辨 用Im (取虛數)或是用 Re(取實數)來算呢?
看尤拉矮顛特替
ix
e = cosx + isinx
特解有 cos 取實部
有 sin 取虛部
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