※ 引述《lightergogo (賴打葛葛)》之銘言：
: ※ 引述《b76516 (阿聰)》之銘言：
: : 請問一下
: : 今天台大資工的數學
: : 若一個矩陣A是一個7X5的矩陣
: : rank(A)=4
: : T
: : rank(A A)是多少阿？
: : T T
: : P.S 我不確定是A A 還是 AA 就是了
: : 考得不怎麼樣 要繼續努力...
: rank(A^t A) = min { rank(A^t) , rank(A) }
: 因為 rank(A) = rank(A^t) = 4
: 所以 rank(A^t A) = 4
: 請問這樣觀念對嗎?
首先看一個Lemma
Let A in M_mxn(F), x in F^n , y in F^m
then <Ax,y> = <x,A*y> where A* is adjoint of A
然後利用這個Lemma再來看這個事實:
Let A in M_mxn(F) Then rank(A*A)=rank(A)
<pf>
by dimension theorem dim(n) = rank(A)+nullity(A)
and dim(n) = rank(A*A)+nullity(A*A). so, we need
only show that, for x in F^n we have Ax=0 <=> A*Ax=0
(=>) If Ax=0 => A*Ax=A*0=0
(<=) If A*Ax=0. then 0 = <A*Ax,x>=<Ax,A**x>=<Ax,Ax>
=>Ax=0
hence, nullity(A*A) = nullity(A). i.e. rank(A)=rank(A*A)
所以這題來看A為7*5矩陣
且rank(A)=4 所以rank(A^tA)=rank(A)=4
應該是這樣吧，有錯請指正
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※ 編輯: smartlwj (140.109.23.132), 03/25/2016 10:14:36