推 gn00618777:感恩..這個方式比較能了解 03/03 19:28
※ 引述《gn00618777 (123)》之銘言：
: x -x x -x 2x
: The vectors e + e , e - e , e in C[0,1]
: 請問這個怎麼判斷是否線性獨立？
雖然很多人說用 wronskian 的方法弄
但是要是考試鬼打牆 突然忘了怎麼算怎麼辦??
回到定義做吧!!
x -x x -x 2x
若 a(e + e ) + b(e - e ) + ce =0
將他微分得到
x -x x -x 2x
a(e - e ) + b(e + e ) + 2ce =0
因為要有3個未知數，要3條方程式才夠，所以再微一次
x -x x -x 2x
a(e + e ) + b(e - e ) + 4ce =0
接下來整理一下得到
x -x 2x
(a+b)e + (a-b)e + ce = 0
x -x 2x
(a+b)e + (-a+b)e +2ce = 0
x -x 2x
(a+b)e + (a-b)e + 4ce = 0
把第一式加第二式 且 第一式乘(-1)加到第三式得
x -x 2x
(a+b)e + (a-b)e + ce = 0
x 2x
(2a+2b)e + 3ce = 0
2x
3ce = 0
2x
由最後一式來看，對於所有x屬於R，e 皆不等於0。所以 3c=0 => c=0
x
把 c=0 帶回第二式 => (2a+2b)e = 0 => a = -b
-x
把 c=0 及 a=-b 帶回第一式 => (2a)e = 0 => a=0
又a=-b => b=0
因此 a=b=c=0 可知 這三個向量為線性獨立
而這個方法，和証明 wronskian判斷獨立的方法是相似的
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