[理工] [工數]-Frobenius 級數

[smallprawn (水中瑕)]

題目 xy''+(x-1)y'-y=0

    ∞    n+r
令y=Σ a x
    n=0 n

∞                             n+r-1           r-1
Σ[(n+r)(n+r-2)a +(n+r-2)a   ]x      +r(r-2)a x   =0
n=1             n         n-1                0

a =/= 0  r(r-2)=0, r1=2 r2=0
 0
      -(n+r-2)
a = ------------ a    ‧‧‧(a)
 n  (n+r)(n+r-2)  n-1


r1=2 代入(a)

a = -a   /(n+2)
 n    n-1

n=1, a1=-a /3
          0


算到這裡我對答案似乎有錯了...但是不知道哪裡有錯...


                2    3
答案: y=c1(1-x+x /2-x /6+...)+c2(1-x)


請高手指教了!!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.11.247
→ mile022:Frobenius級數解一開始假設是要從n=0開始..不管微幾次
抱歉令的那裡打錯...已修正
※ 編輯: smallprawn      來自: 218.166.11.247       (03/04 19:57)
→ mile022:他C1後面那串對應的是小根 r=0 因為兩根相差整數 小的先算
→ mile022:然後那一串其實就是exp(-x)
→ mile022:y2就比較煩=ln(x)e^(-x)+C2 很公式化的計算...y2很煩
→ mile022:C2不是真的C2喔...是一串公式...好像an(x)對r偏微代大根
→ smallprawn:@@..不是大根先算嗎!!?
推 CRAZYAWIND:大根一定是一解 只不過這樣的話小根有可能會不存在
→ mile022:建議小根先算吧...遇到重根或者兩根整數差...y2都不好算
→ smallprawn:那我有沒有算錯 r值..還是移位有錯= =?!
→ smallprawn:一直看不出來哪裡錯.而且跟答案搭不上線= =...
→ mile022:你計算應該沒錯吧...只是小根先算你應該就對了 至少y1對
→ smallprawn:用小跟算過了.是c1那串..但是c2後面那串到底怎嚜來的..
→ smallprawn:還是不知道...|||~有人知道嗎QQ~ 先感謝m大~3Q..
→ mile022:an是r的函數 把an對r偏微 代大r 然後找出關係式 再加上
→ mile022:外面有一項 ln(x).e^-x 就...很公式化 沒背就不會