推 topee:我明天沒考!!但 S大 祝你上榜!!~ 03/06 23:46
※ 引述《topee (eason)》之銘言：
: 題目: (2x+4)^2 y" - 4(2x+4) y' + 8y = 4ln(2x+4)
: 令 z = 2x+4
: dy dy dz dy
: ── = ── ── = 2 ──
: dx dz dx dz <-看不太懂怎麼算的
: d^2y d dy d^2y
: ── = ── (2──) = 4 ───
: dx^2 dx dz dz^2 <- 也不懂
: 代入ode
: d^2y dy
: z^2 4─── -4z 2── + 8y = 4 lnz
: dz^2 dz
: d^2y dy
: z^2 ─── - 2z ── + 2y = lnz <- 不懂怎麼算的
: dz^2 dz
: 後面我大概會算! 前面那些看不太懂..
: 希望有人能解釋一下~ 不好意思我就是這麼笨!
Legendre equation
let (2x + 4) = e^t => t = ln (2x + 4)
dy dy dt 2 dy 2 dy
---- = ---- ---- = ----- ---- = ---------- ----
dx dt dx e^t dt (2x + 4) dt
dy
(2x + 4)y' = 2 ---- = 2 Dt y , (2x + 4)y'' = 2^2 Dt(Dt - 1)y
dt
(2x+4)^2 y" - 4(2x+4) y' + 8y = 4ln(2x+4)
-> 4D(D - 1)y - 8Dy + 8y = 4t
-> 4(D - 1)(D - 2)y = 4t
<i> yh :
let y = e^mt, y' = me^mt , y'' = m^2e^mt
-> 4(m - 1)(m - 2) = 0
-> m = 1 , 2
-> yh = c1e^t + c2e^2t
<ii> yp :
1
yp = ----------------- * 4t
4(D^2 - 3D + 2)
補上算式
1 3
= (--- + ---D + ...)t
2 4
= (1/2)t + 3/4
<iii>
y = yh + yp = c1e^t + c2e^2t + (1/2)t + 3/4
我看明天慘了...
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※ 編輯: shinyhaung 來自: 112.104.194.233 (03/06 23:21)