Re: [理工] [工數] ODE ODE等維線性.....??

[topee (eason)]

※ 引述《shinyhaung (我是Shiny)》之銘言：
: ※ 引述《topee (eason)》之銘言：
: : 題目: (2x+4)^2 y" - 4(2x+4) y' + 8y = 4ln(2x+4)
: : 令 z = 2x+4
: :   dy     dy    dz       dy
: :  ── = ──  ── = 2 ──
: :   dx     dz    dx       dz       <-看不太懂怎麼算的
: :   d^2y    d       dy        d^2y
: :  ──  = ──  (2──) = 4 ───
: :   dx^2    dx      dz        dz^2   <- 也不懂
: : 代入ode
: :       d^2y        dy
: : z^2 4─── -4z 2── + 8y = 4 lnz
: :       dz^2        dz
: :      d^2y        dy
: : z^2 ─── - 2z ── + 2y = lnz <- 不懂怎麼算的
: :      dz^2        dz
: : 後面我大概會算! 前面那些看不太懂..
: : 希望有人能解釋一下~ 不好意思我就是這麼笨!
: Legendre equation
: let (2x + 4) = e^t  =>  t = ln (2x + 4)
:  dy     dy   dt      2    dy         2      dy
: ---- = ---- ---- = ----- ---- = ---------- ----
:  dx     dt   dx     e^t   dt     (2x + 4)   dt
:                 dy
: (2x + 4)y' = 2 ---- = 2 Dt y  ,  (2x + 4)y'' = 2^2 Dt(Dt - 1)y
:                 dt
:     (2x+4)^2 y" - 4(2x+4) y' + 8y = 4ln(2x+4)
: ->  4D(D - 1)y - 8Dy + 8y = 4t
: ->  4(D - 1)(D - 2)y = 4t
: <i> yh :
:     let y = e^mt, y' = me^mt , y'' = m^2e^mt
: -> 4(m - 1)(m - 2) = 0
: -> m = 1 , 2
: -> yh = c1e^t + c2e^2t
: <ii> yp :
:                 1
:    yp = ----------------- * 4t
:          4(D^2 - 3D + 2)
:       = 1/2 + (3/4)t
: <iii>
:      y = yh + yp = c1e^t + c2e^2t + 1/2 + (3/4)t



: 解答 y = yh + yp = c1e^t + c2e^2t + 1/2 t + (3/4)

                                        ↑    ↑

                                    後面2個可顛倒?

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◆ From: 125.228.105.21
推 shinyhaung:不可以 這是逆運算子算的怎麼能顛倒?
推 squallting:放心 兩個答案都錯
→ topee:課本解答是下面那個....
→ funtsung:差一步 要代換回x
→ topee:我知道要代換.但是解答是寫1/2*ln(2x+4) 而不是3/4那個
推 shinyhaung:我錯了XD
→ wuxn:後兩項不能顛倒~~~我算的跟你的解答一樣
→ topee:感謝你們^^