推 shinyhaung:哈 這題很有印象 至於為什麼呢? 等有人問再說吧XDDD 03/10 00:25
推 ntust661:我知道@@ 03/10 00:34
推 aeronautical:算不出我放棄了..等號右邊好像有玄機 03/10 00:53
→ doom8199:若題目沒有給定 t>0 這種限制條件，我不建議用 LT 03/10 03:34
→ doom8199:來解 O.D.E. , 因為還要額外說明 t<0 的 case 03/10 03:35
推 shinyhaung:樓上我覺得不用想太多= =" 03/10 09:30
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賺一下 P 幣 OTZ
不是我想太多
而是用 Laplace Transform 解 O.D.E. 時
所必須要有的認知
凡是用 LT 轉任一個訊號
假設把 f(t) 對 t 轉的話
L{f(t)} = F(s)
-1
→ L {F(s)} = f(t)u(t)
也就是原本一個訊號 f(t) for t屬於R
經過 Transform 回來後
只有 t>0 的部分可以完整的 decode
而 t<0 部分會被視為 0 (也就是丟掉訊號)
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所以可以仔細看一下工數一般所出的 ODE 題目:
L(D)y = f(x)
若題目想要你用 LT 來解的話
那 f(x) 通常會寫成 如 " (...)u(x) "
或是 = ┌ ... if 0<x<3
└ ... if x>3
這類寫法
因為這樣變成只是在問 x>0 部分的解
其它區間的解 題目不 care
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我舉個實例比較容易瞭解:
ex:
solve y'' - 3y' + 2y = 4t with y(0)=1 and y=y(t)
y'(0)=-1
假設上面那題用 LT 解的話:
(s^2)Y - s + 1 - 3(sY - 1) + 2Y = 4/s^2
3 2 -1 -1
→ Y = ── + ── + ── + ──
s s^2 s-1 s-2
→ y(t) = [3 + 2t - e^t - e^(2t)]u(t)
= ┌ 3 + 2t - e^t - e^(2t) if t>0
└ 0 if t<0
當 t>0 時，將 y(t) 帶入 O.D.E. 是滿足的
但是當 t<0 時， 將 y=0 帶入 O.D.E. 卻不合
這就是利用 LT 解 O.D.E. 後
其訊號 y(t) 會失真的例子
所以題目若想要嚴謹的出
它會把 O.D.E. 寫成這種型態:
y'' - 3y' + 2y = 4t*u(t)
這樣不論是 t>0 還是 t<0
y(t) 皆會滿足 O.D.E. 的解
或是題目會額外註明 t>0 這個條件
如此一來吾人就只需要 care y(t) 在 t>0 的情況
而 y(t) 在 t<0 的狀態下
題目管不著，也沒問到
因此你要如何敘述 y(t) 在 t<0 時為何
對題目來說不影響
( 以 LT 的作法來說， y(t)最後會是0 if t<0 )
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萬一題目出了如 y'' - 3y' + 2y = 4t
還要你用 LT 解這題 O.D.E.
那解決方法就是分 case 討論:
<1> t>0:
用 LT 解出 y(t)
<2> t<0:
令 x=-t >0
將原 O.D.E. 改寫成 y 為 x 的 O.D.E.
再用 LT 解出 y(x) = y(-t)
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推 QQkimi:d大學問做的真是扎實m(_ _)m 03/10 15:28
推 kagato: 大學問做的真是扎實m(_ _)m 03/10 16:37
推 honestonly:有推有上榜!!D大保佑我上交大吧 哭哭!!(樓上不照顧長ID 03/10 17:19
推 JaLunPa:跪拜 03/10 19:40