推 QQkimi:m(_ _)m 你你連力學都會... 03/13 06:37
→ honestonly:拜m(_ _)m d大保佑我明天考交大順利QQ 03/13 08:08
推 skullwa:大推~希望今年沒力學 03/13 15:10
→ doom8199:高中物理我大概都快忘得一乾二淨了 OTZ 03/13 15:24
※ 引述《skullwa (山大王)》之銘言：
: http://www2.lib.nctu.edu.tw/n_exam/exam98/cn/cn2013.pdf
: 第五題
: 單擺系統完全傻眼了
: 希望可以不吝幫助謝謝！
: 完全不會下手~
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(1)
照題目的意思:
. (我是支點)
|↖
|θ＼
| ＼
| ●
│
│
↓
mg
假設角度 θ往逆時針方向轉定為 正的方向
對那顆球來說
受到四個力: (1) 繩子張力
(2) 重力
(3) 題目說的外加力
(4) 題目說的摩擦力
若是以那個支點來說
繩子張力通過支點，無力矩影響
所以只需考慮 (2)~(4) 所產生的淨力矩
對 (2)(3) 來說
對支點產生力矩 = T - mg*Lsinθ
所以摩擦力所產生的力矩 = -F*(T - mg*Lsinθ) (必與行進方向反向)
因此由 Στ = L* mLθ'' ( θ = θ(t) )
→ T - mg*Lsinθ - F*(T - mg*Lsinθ) = m(L^2)θ''
(2)(3)
θ'' + (1-F)(g/L)*sinθ = T(1-F)/(mL^2)
很明顯是 二階非線性 O.D.E.
若要解的話:
2θ'θ'' + (1-F)(g/L)*2θ'sinθ = 2θ'T(1-F)/(mL^2)
→ (θ'^2)' - 2(1-F)(g/L)(cosθ)' = [2T(1-F)/(mL^2)]θ'
→ θ'^2 - 2(1-F)(g/L)cosθ = [2T(1-F)/(mL^2)]θ + c1
→ θ' = ±√{ 2(1-F)(g/L)cosθ + [2T(1-F)/(mL^2)]θ + c1} }
± 1
→ ∫ ──────────────────────── dθ = t + c2
√{ 2(1-F)(g/L)cosθ + [2T(1-F)/(mL^2)]θ + c1}
不過題目想要解析解
那個積分一定是積不出來
所以只能級數解送他 = =ll
不然就是用近似解
假設單擺的角度很小 → sinθ ~ θ
cosθ ~ 1
所以那個很醜的積分可以寫成:
1
∫ ───────────────────── dθ
√{ 2(1-F)(g/L) + [2T(1-F)/(mL^2)]θ + c1}
2
= ────────√{ 2(1-F)(g/L) + [2T(1-F)/(mL^2)]θ + c1}
[2T(1-F)/(mL^2)]
(積分常數已被 c2 包含)
也就是
± 2
────────√{ 2(1-F)(g/L) + [2T(1-F)/(mL^2)]θ + c1} ~ t + c2
[2T(1-F)/(mL^2)]
T(1-F)(t + c2)^2 mgL mL^2 *c1
→ θ ~ ──────── - ── - ────
2mL^2 T 2T(1-F)
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不然也可以直接由原 O.D.E. 近似:
θ'' + (1-F)(g/L)*sinθ = T(1-F)/(mL^2)
→ θ'' + (1-F)(g/L)*θ ~ T(1-F)/(mL^2)
T
→ θ ~ c3*cos(kt) + c4*sin(kt) + ───
mgL
其中 k = √[(1-F)g/L ]
至於常數就由初始條件決定
這部分就個人自由發揮 ~~
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不同近似法會有不同結果 XD
算錯別怪我 QQ
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