推 holik0123:λ多項式N次方,且可對角->DIM(KER(A-λI))=2 03/13 22:37
→ holik0123:N 03/13 22:37
推 holik0123:很明顯-λI維度=N 即不含0以外之元素 03/13 22:40
→ HenryMillion:推...所以到底A是什麼? λI嗎? 感謝回答! 03/14 09:10
※ 引述《HenryMillion (亨利萬世)》之銘言：
: 今天剛考完，有一題跟同學討論不出來，想來問問看
: 題目:
: If A is an n x n matrix and diagonalizable, and λ is an eigenvaule of
: multiplicity n, then what is the dimension of the null space of A-λI and what
: is A?
: 覺得條件是不是有些不夠?
: 有強者可以幫忙解嗎? 感激不盡!
因為 A 可對角化, 則對任意 A 的特徵值皆有 代數重根 = 幾何重根
因此 dim Ker(A-λI) = gm(λ) = am(λ) = n.
又 A 的特徵多項式 Char (x) 是一個 n 次多項式, 又特徵值為其根, 由因式定理知
A
Char (x) = (-1)^n (x - λ)^n, 所以由 Caley-Hamiltion 定理知
A
A 必相似於 diag(λ, λ, ... , λ).
\____ n 個 __/
註： 我沒參加考試, 只是有興趣來解一解.
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◆ From: 114.37.171.108