[理工] [工數]- 關於判斷忽略掉的解

[himanbobo (I have a dream)]

小弟最近在寫一些微方的題目
但是對於計算中會忽略掉的解的判斷並不是很清楚
想請各位神人幫小弟解惑一下^^"

我舉個例子好了
y' + [(2x-5y-9)/(4x-y-9)] = 0
他的General solution(通解)為   (2x+y-3)^2 = c(x-y-3)  不是很好看的隱函數解

因計算而忽略掉的解分別為 y = x-3  以及 y = -2x+3
答案是說y = x-3為奇異解  而  y = -2x+3隱含於通解中

請問這個是怎麼判斷的呢?
是將這些被忽略的解代入通解中嗎?
我把y =  x-3  代入通解中   得到  (3x-6)^2 = 0
而把y = -2x+3 代入通解中   得到  c(3x-6)  = 0

實在不知道可以從這中間知道什麼@@(或許我本身資質駑鈍...)

可以請大大們幫我指點與解惑嗎?
感激不盡^^

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.193.213.23
推 doom8199:我覺得你舉的問題有點算是相對性
→ doom8199:2x+y-3=0 這組解是 c=0  下的 case
→ doom8199:但若你把 ODE 寫成:  c1*(2x+y-3)^2 = (x-y-3)
→ doom8199:其中 c1=1/c
→ doom8199:那反而腳色會顛倒 , 2x+y-3=0 變成 special solution
→ doom8199:而 x-y-3=0 是 c1=0 下的一組解
→ doom8199:其實在你解 O.D.E.  的過程中，就能判斷奇異解是啥
→ doom8199:例如解  y'=y , 做法是  1/y dy = dx
→ doom8199:但當做這一步的時候, 不少人往往會忽略 y要在不等於 0
→ doom8199:的情況下才能這樣做， 所以求出來的通解
→ doom8199:其實會有個先決條件，那就是  "y不等於0"
→ doom8199:也就是 y=0 有可能是 special solution 發生處
→ doom8199:我這例子舉有點不是很好 , 不過奇異解的判斷大概是如此~~
→ doom8199:special sol. 的圖解意義有點像是通解的包絡線
謝謝doom大的回答
剛剛突然想到  不知道能不能這樣解釋

把隱函數都以f(x,y)= c 的形式表示
那麼我舉的例子就變成通解為
(2x+y-3)^2 / (x-y-3) = c
將y = x-3 代入後  會變成  infinite = c  infinite為無限大 也就是未定義
c 是一個任意的"常數" 不能為未定義的數
所以y = x-3 為 singular solution (special solution)

而將y = -2x+3代入後 會變成  0  =  c   是在c=0下的解 所以包含在通解中

但其實就像doom大提到的相對性一樣  腳色會顛倒

不知道我這樣的思考方向對不對@@?

※ 編輯: himanbobo       來自: 123.193.213.23       (03/14 23:25)
推 doom8199:若是我的話,會把通解寫成 2ln|(2x+y-3)| =c+ ln|(x-y-3)|
→ doom8199:假設把通解畫在 平面座標上
→ doom8199:會是以 (x,y)=(2,-1) 為中心點, 往四處呈放射狀的曲線族
→ doom8199:而 2x+y=3 、 x-y=3 , 這兩條線就成為這團曲線族的"邊界"
→ doom8199:當然你那樣寫也ok , 就端看你是以何種角度來看待通解
→ himanbobo:謝謝你 doom大! 你的觀念真的紮的很深!應當向你學習才是