※ 引述《lovefo (lovefo)》之銘言：
給些提示,全寫出來很長,細節自已補...
: (1).Prove that,for every square matrix A all of whose eigenvalues are real,the
: product of its eigenvalues is det(A).
: 第一個想法是...
: A=PDP^-1
: det(A) = det(PDP^-1)
: = det(D)
: 這樣證法不知道行不行
: 我忽然想到 A 不能對角化的話... 冏
:
不失一般性, 假定 A 為實數矩陣. 因為 A 的特徵值全為實數, 所以它的特徵多項式
det(A-xI) = (-1)^n x^n + ... + det(A) 可分解成
(-1)^n (x - λ_1)...(x - λ_n), 令 x = 0 得所求.
13 -4 2
: (2)Find the spectral decomposition of matrix A,where A=[-4 13 -2]
: 2 -2 10
: 這題是要...?
: spectral decomposition是?...
因為 A 實對稱, 故必可正交對角化. 將 A 表為 P^(-1) [a 0 0] P =
[0 b 0]
[0 0 c]
P^(-1)[a ]P + P^(-1) [0 ] P + P^(-1) [0 ] (沒寫的部分都是0) 即為所求.
[ 0 ] [ b ] [ 0 ]
[ 0] [ 0] [ c]
: 3/4 1/4 0
: (3)Find lim A^n ,where A=[ 1/4 3/4 0 ]
: n->∞ -1/4 -1/4 1/2
: 這個是要我們求A^n嗎?...
: 看樣子還好多不會...
: 求大大們解答了
先將 A 對角化,以求出 A^n. lim(n->∞) A^n
只是將 A^n = P^(-1) D P 中 D 的每個對角 entry 都取 lim(n->∞).
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