推 usa0204got:感謝 用原PO的方法解出來了 03/16 22:43
→ usa0204got:原PO可能解太快了 根號的積分有一點小錯誤 03/16 22:44
→ usa0204got:ANS是PI/4+5/6 03/16 22:44
→ ntust661:喔XD 03/16 22:53
謝謝!
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※ 編輯: ntust661 來自: 140.118.234.83 (03/16 23:02)
y※ 引述《usa0204got (便秘)》之銘言：
: 求
: 1 2
: ∫ ∫ (▕ y-x^2▕ )^0.5 dydx
: 0 0
: 區域的正負都切好了 卡在最後的積分...
: 請幫忙解一下 感激不盡
看一下 x y
會發現說這是一個矩形的區域
2
但是會發現說當 y < x 的時候會產生負號
(2)
y 2
y > x
2 2
│ ∕ y = x
│ ∕
│ ∕ 2
│ ／ y < x (1)
│／
┼───────── x
1
所以要拆兩個積分
: 1 2
: ∫ ∫ (▕ y-x^2▕ )^0.5 dydx
: 0 0
(1)
2
1 x 2
∫∫ √(x - y) dy dx
0 0
2
1 -2 2 3/2 │x
∫ ── (x - y) │ dx
0 3 │0
1 -2 2 3/2
∫ ── [ - x ] dx
0 3
1 2 3
∫ ── x dx
0 3
1 4 │1 1
── x │ = ──
6 │0 6
第一個解出來囉 \^0^/
(2)
1 2 2
∫∫ √(y - x ) dy dx
0 x^2
1 2 2 3/2│ 2
= ∫ ── (y - x ) │ dx
0 3 │x^2
1 2 2 3/2
= ∫ ── (2 - x ) dx
0 3
令 x = √2 sinθ 可變成
x = 1 ， θ = π/4
x = 0 ， θ = 0
2 4
= ── ∫ 4 cos θ dθ
3
8 1 + cos2θ 2
= ── ∫ (─────) dθ
3 2
2 2
= ── ∫ 1 + 2 cos2θ + cos 2θ dθ
3
2 θ 1 │π/4
= ── [θ + sin2θ + ── + ── sin4θ ] │
3 2 8 │0
2 3 π
= ── [── ── + 1]
3 2 4
2 π
= ── + ──
3 4
第二個也解出來囉\^0^/
相加!
5 π
ANS = ── + ── !!!
6 4
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