推 dxok0820:感謝回應 我還想請問一下特解就是穩態解的原因是什麼呢 03/17 19:59
※ 引述《dxok0820 (dxok)》之銘言：
: y''+6y'+18y = -90sin(6t)
: 1.How would you describe this system (choose on below)?
: (A)Undamped (B)Underdamped (C)Critical damped (D)Overdamped
: 2.Find the steady-state solution.
: 看不懂什麼是damp
: 還有請問steady-state solution是什麼意思
: 感謝
damp 阻尼
steady - state solution 穩態解 (yp)
1.看一下他的齊性解可以知道是 A B C D 哪一個
y'' + 6y' + 18y = 0
2
(D + 6 D + 18 ) y = 0
- 6 ±√(36 - 4*18) - 6 ±√(-36)
D = ────────── = ─────────
2 2
= - 3 ± 6 i
-3t
yh = e ( c1 cos6t + c2 sin6t )
看的出來，圖形是個遞減的震盪呀~~
所以說這是一種阻尼不夠的 (Underdamped)
你可以想像，一個物體掛了一個彈簧(無摩擦的情況下)
只要他利用自己的重量產生震動，這種就叫做 Undamped (沒有阻尼的)
算出來的位移-時間關係式應該是 yh = c1 cosat + c2 sinat
然後我今天在彈簧外置油壓缸，如果油的黏滯性夠，能夠讓我的物體在短時間內
使震盪馬上降到最小，這種就叫做 Critical damped (臨界阻尼)
at at
關係式應該是重根 yh = c1 e + c2 t e
再來，只要黏滯性太大，造成非常迅速的使物體無法震動
at bt
關係式是相異實根 yh = c1 e + c2 e
這種稱為 Overdamped (過阻尼)
最後一種，就是油壓缸中黏性不夠，以致於物體還是會明顯的震動
但是會慢慢的使振幅遞減
這種就叫做 Underdamped (欠阻尼)
...
當然過阻尼跟臨界阻尼很相似，只不過臨界阻尼只是在過阻尼與欠阻尼中間的一個
小小的特殊解
(2) 特解很簡單吧@@
y''+6y'+18y = -90sin(6t)
1
yp = ────── -90 sin6t
(D^2 + 6D +18)
1
= ─────── -90 sin6t
-36 + 6D + 18
1
= ─────── -90 sin6t
6D - 18
1 D + 3
= ── ─────── -90 sin6t
6 (D + 3) (D - 3)
1 D + 3
= ── ──────── -90 sin6t
6 D^2 - 9
1 -90
= ── ────── (D + 3) sin6t
6 -45
1
= ── [ 6 cos6t + 3sin6t ]
3
= 2 cos6t + sin6t
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希望有幫助到您^^
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