作者crazykk (JK)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [線代]-對稱矩陣
時間Sat Mar 20 15:59:53 2010
※ 引述《mdpming (阿阿 要加油)》之銘言：
: [ 1 0 3 0]
: [ 0 0 0 0] = Q
: [ 3 0 1 0]
: [ 0 0 0 0]
: 1 .find P orthogonally diagonalizes of Q..
: T
: 2.P QP
: 恭喜上榜的各位 都好利害
1. [ 1 0 3 0]
令Q=[ 0 0 0 0]
[ 3 0 1 0]
[ 0 0 0 0]
|1-x 0 3 |
PQ(x)=det(Q-xI)=-x| 0 -x 0 |=-x[(1-x)^2 (-x) - 9(-x)]
| 3 0 1-x|
=(-x)^2 (-8-2x+x^2)=(-x)^2 (x-4)(x+2)
λ(Q)={-2,0,4}
[ 3 0 3 0] [-1] [-1/√2]
V(-2)=ker(Q+2I)=ker[ 0 2 0 0]=span{[ 0]} 單位化 [ 0 ]
[ 3 0 3 0] [ 1] => [ 1/√2]
[ 0 0 0 2] [ 0] [ 0 ]
[ 1 0 3 0] [0] [0]
V(0)=ker(Q)=ker[ 0 0 0 0]=span{[1]，[0]}
[ 3 0 1 0] [0] [0]
[ 0 0 0 0] [0] [1]
[0] [0] [0] [0]
先做Gram-Schmidt => [1]，[0] 再單位化=> [1]，[0]
[0] [0] [0] [0]
[0] [1] [0] [1]
[-3 0 3 0] [1] [1/√2]
V(4)=ker(Q-4I)=ker[ 0 -4 0 0]=span{[0]} 單位化 [ 0 ]
[ 3 0 -3 0] [1] => [1/√2]
[ 0 0 0 -4] [0] [ 0 ]
[-1/√2 0 0 1/√2] [-2 0 0 0]
取P=[ 0 1 0 0 ] 使得P^T Q P =[ 0 0 0 0]
[ 1/√2 0 0 1/√2] [ 0 0 0 0]
[ 0 0 1 0 ] [ 0 0 0 4]
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◆ From: 60.244.37.56
推 aaaghg:我這邊不太熟 請問題目問orthogonally diagonalize of Q 03/20 16:07
→ aaaghg:也是要單位化嗎? 03/20 16:08
推 assassin88:正交對角就是要單位化 03/20 16:09
→ crazykk:P:orthogonal,代表P行orthonormal,列orthonormal 03/20 16:10
→ crazykk:因此最後要有單位化，才能變成orthonormal 03/20 16:10
※ 編輯: crazykk 來自: 60.244.37.56 (03/20 16:39)
推 chchwy:如果只要P-1QP就不用單位化 PTQP就一定要單位化 03/20 16:44
※ 編輯: crazykk 來自: 60.244.37.56 (03/20 16:57)
→ mdpming:感恩 我研究看看 03/20 17:02
→ mdpming:證交對角化 不市直街大小開根號嗎@@ 03/20 17:03
→ crazykk:大小開根號是?? 我怎麼沒聽過 03/20 17:08
推 scisyhp:你是在說特徵向量長度開根號嗎= = 03/20 17:26
→ mdpming:恩恩 就是那個... 03/20 17:27
推 mdpming:4*4只有這方法嗎 感覺有點複雜... 03/20 17:30
→ crazykk:若eigenvector已經垂直，就不用做Gram-Schmidt Process 03/20 17:30
→ crazykk:就可以直接單位化，否則不行 03/20 17:30
→ mdpming:所以 正交特徵向量 和 正交對角化 都要先看有沒有垂直@@ 03/20 17:36
推 scisyhp:對稱矩陣無重複特徵值 其對應的特徵向量就已經互相正交了 03/20 18:13
推 aaaghg:謝謝回答我的大大 感恩 03/20 22:49
推 soldier723:勇敢的降階 愚公的精神也是可以暴力的 03/21 00:13