推 mdpming:...@@ 03/22 16:57
→ mdpming:所以2^100 跟 -3^100 不用算出來阿 03/22 16:58
→ mdpming:我就卡在這裡 哈 03/22 16:58
→ smartlwj:你要算也是可以...不過應該沒有人想算吧 03/22 17:00
推 holik0123:不能對角就用JORDAN FORM 03/22 17:15
※ 引述《mdpming (阿阿 要加油)》之銘言：
: ※ 引述《mdpming (阿阿 要加油)》之銘言：
: : A = [-2 4]
: : [ 1 1]
: : 100
: : 求 A
: : 我看解答寫
: : -1
: : SDS
: : D 裡面就是特徵值 100 次方
: : 不用 Cayley-Hamilton 嗎@@
: 那我以後看到求 A 的多少次方
: -1
: 可以直接用 SDS 嗎@@
: 還是有什麼條件限制
這兩種方法都可以拿來算這題
看你想怎麼用都行 但是如果知道矩陣不可對角化
那你就不能用SDS^(-1)
2
這題來看的話 特徵多項式為 f(t)=x +x -6 =(x-2)(x+3)
所以對eigenvalue 為-3 的eigenspace是 span{[-4 1]^t}
對eigenvalue 為2 的eigenspace是 span{[1 1]^t}
-1
取 S=[-4 1] s.t. S AS = D = [-3 0]
[ 1 1] [ 0 2]
-1 100 100 -1
所以 A = SDS => A = SD S = 一個很醜的矩陣
====================================================
另外一方面 利用Cayley Hamilton Thm
2
可以得知 f(A)=A +A -6I = 零矩陣
100 100
令 g(x) = x => g(A)= A
所以 g(x) = f(x)q(x) + a(x-2) + b
100
因為 g(2) = f(2)q(2) + a(2-2) + b => 2 = b
100
g(-3) = f(-3)q(-3) +a(-3-2) + b => (-3) = -5a + b
100 100 100
解得 b = 2 , a = (2 - 3 )/5
100
最後 A = g(A) = f(A)q(A) + a(A-2I) + bI
100 100
= (2 - 3 ) [-4 4] 100 [1 0]
------------- [ 1 -1] + 2 [0 1]
5
這兩個答案會一樣...算好久 囧...
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