[理工] [工數] [矩陣] Cayley-Hamilton

[iamwwj (阿Ken)]

      [ 2  1  1 ]
A =   [ 1  4  3 ]   求 f(A) = A^4 - 3A^3 - 3A^2 + 4A + 2I
      [-1 -1  0 ]


sol:

      det(A-λI) = (-1)^3 (λ^3 - 6λ^2 + 11λ - 6) = 0

                    A^3 - 6A^2 + 11A -6I=0

            f(A) = (A+3I) (A^3 - 6A^2 + 11A -6I) + (4A^2 - 23A + 20I)
                   ￣￣￣                          ￣￣￣￣￣￣￣￣￣   ---(1)
                    Q(A)                                R(A)




                                        [ -10  -3   -3 ]
                 = 4A^2 - 23A + 20I =   [ -11  -16  -17]                ---(2)
                                        [  11   3    4 ]



我翻了喻超凡四版工數課本(下)P.405中  寫到的Cayley-Hamilton長除法

            A^m = Q(A) Φ(A) + R(A) = R(A)

沒有講解 Q(A)和R(A)是什麼 (還是我漏看了哪頁呢@@??)


請問(1)的  Q(A) 跟  R(A)是怎麼求得的呢??
    (2)的  4A^2 - 23A + 20I 是如何運算成答案的呢??
-------------------------------------------------------------------------
    還有一個小小問題,就是題目改成

                | 2  1  1 |
            A = | 1  4  3 | 求 A^4-3A^3-3A^2+4A+2I
                |-1 -1  0 |
              ↗           ↖      ↖
            直線            直線     沒有f(A) =

修改成這樣的題目 問的問題是否還是一樣呢??

題目打成直線

直線是求det(A)對吧???

這樣A就應該只是個數字2不是矩陣吧??

所以答案應該是矩陣還是行列式呢??

因為前天考試寫到這種題目

希望下次寫到不要再犯錯了~"~

謝謝





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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.139.149.158
推 AIdrifter:Q R就只是商數和餘數罷了
→ AIdrifter:高中不是有學f(x)=X^2-3X+3 =(X-2)^2+(x-2)+1 = 0
→ AIdrifter:你把X改成矩陣A 就是了
推 squallting:(1)QR只是個配角 不用理她 (2)慢慢乘 (3)問老師=  =
※ 編輯: iamwwj          來自: 220.139.149.158      (03/23 01:39)
※ 編輯: iamwwj          來自: 220.139.149.158      (03/23 01:47)
→ iamwwj:謝謝sq大和AI大的講解
※ 編輯: iamwwj          來自: 220.139.149.158      (03/23 02:01)