Re: [理工] [工數] [矩陣] Cayley-Hamilton

[smartlwj (最後60天衝刺)]

※ 引述《iamwwj (阿Ken)》之銘言：
:       [ 2  1  1 ]
: A =   [ 1  4  3 ]   求 f(A) = A^4 - 3A^3 - 3A^2 + 4A + 2I
:       [-1 -1  0 ]
: sol:
:       det(A-λI) = (-1)^3 (λ^3 - 6λ^2 + 11λ - 6) = 0
:                     A^3 - 6A^2 + 11A -6I=0
:             f(A) = (A+3I) (A^3 - 6A^2 + 11A -6I) + (4A^2 - 23A + 20I)
:                    ￣￣￣                          ￣￣￣￣￣￣￣￣￣   ---(1)
:                     Q(A)                                R(A)
:                                         [ -10  -3   -3 ]
:                  = 4A^2 - 23A + 20I =   [ -11  -16  -17]                ---(2)
:                                         [  11   3    4 ]
: 我翻了喻超凡四版工數課本(下)P.405中  寫到的Cayley-Hamilton長除法
:             A^m = Q(A) Φ(A) + R(A) = R(A)
: 沒有講解 Q(A)和R(A)是什麼 (還是我漏看了哪頁呢@@??)
: 請問(1)的  Q(A) 跟  R(A)是怎麼求得的呢??
我認為應該是由 det(A-tI) = t^3 - 6t^2+11t-6
且f(t)=t^4-3t^3-3t^2+4t+2
利用長除法算得 f(t)=(t+3)(t^3-6t^2+11t-6)+(4t^2-23t+20)
然後再將A帶入f(t)即得

:     (2)的  4A^2 - 23A + 20I 是如何運算成答案的呢??
直接把A拿進去算
: -------------------------------------------------------------------------
:     還有一個小小問題,就是題目改成
:                 | 2  1  1 |
:             A = | 1  4  3 | 求 A^4-3A^3-3A^2+4A+2I
:                 |-1 -1  0 |
:               ↗           ↖      ↖
:             直線            直線     沒有f(A) =
: 修改成這樣的題目 問的問題是否還是一樣呢??
不一樣
: 題目打成直線
: 直線是求det(A)對吧???
對
: 這樣A就應該只是個數字2不是矩陣吧??
對                    ^^^你是要打"而"?
: 所以答案應該是矩陣還是行列式呢??
既然是det(A) 答案當然是數字 不會是矩陣
: 因為前天考試寫到這種題目
: 希望下次寫到不要再犯錯了~"~
: 謝謝

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◆ From: 123.195.18.47
推 AIdrifter:ㄟ.......他後面有補求一串A的運算 我想應該是矩陣吧?
→ AIdrifter:不好意思 因為這樣Cayley-Hamilton好像就沒用到 @@
→ AIdrifter:符號沒有錯 但是題目應該不是問那個...
→ smartlwj:如果他寫成的是直線 肯定是行列式 除非題目有明確的說
→ smartlwj:說A是矩陣 不然可以直接視為實數
推 iamwwj:謝謝smart大和AI大的解說