Re: [理工] [工數]-級數解

[shinyhaung (我是Shiny)]

※ 引述《k0184990 (追隨夢想..)》之銘言：
: 題目:
: 求解   (x^2+1)*y''+x*y'-y=0
: [sol]:       x        1
:       y''+ -----y'- -----y=0
:            x^2+1    x^2+1
:                x              1
:        P(x)=------  ； Q(x)=------
:              x^2+1           x^2+1
:        當x^2+1=0，x=正負i
:        這樣x=正負i算是規則奇異點嗎??
: 這題我是用Frobenius解的...但似乎好像錯誤...
: 一直解不出來。
: ANS:       1         1
:     Co(1+ ---x^2- -------x^4)+C1x
:            2      2^2*2!
: 還有我記得周老師說Frobenius級數解適用於規則奇異點
: 但是為什麼(x^2+2)y''+3xy'-y=0卻是用幂級數解呢??
: 感覺好像觀念有錯誤...還是這題也可以用Frobenius來求解?
: 但是卻不知到哪裡錯誤了XD
: 希望大大能夠幫我解釋一下~~~

PS : iynn大 doom大 C大都跑去清交玩耍了 剩我還在拼成大面試..orz

     平常這種題目都是被秒殺的(菸~)


去年版上有某位神手提點 我終於瞭解如何判斷是否奇異點

y" + P(x)y' + Q(x)y = 0

如果要判斷某一點是否為奇異點

lim  P(x) ≠ (不可解析)  且   lim  Q(x) ≠ (不可解析)  就算等於0
x->a                    ^^^^  x->a

我們都說不為奇點
                 n
用 y = Σ An(x-a)

若上述其中一個為(不可解析)則為奇異點

接下來判斷是否是規則奇點

我們只會作規則奇點的級數解
                                        2
lim  (x-a)P(x) ≠ (不可解析)  且  lim  x Q(x) ≠ (不可解析) 那麼就是規則奇點
x->a                         ^^^^ x->a
                 n+r
用 y = Σ An(x-a)

反之則為不規則奇點

-----------------------以上只用於判斷解題 並非依照原理-------------------------

你問的這題

   (x^2+1)y''+xy'-y=0

             x              1
=> y'' + --------- y' - --------- y = 0
          x^2 + 1        x^2 + 1

           x                  1
P(x) = --------- , Q(x) = ---------
        x^2 + 1            x^2 + 1

因此判斷是否為奇點

題目沒說一般都為對0展開

lim  P(x) = 0 , lim  Q(x) = 1
x->0            x->0

                    ∞      n           ∞        n-1         ∞           n-2
因此不為奇點 令 y = Σ  An x  , 且 y' = Σ  n An x    , y'' = Σ n(n-1)An x
                    n=0                 n=0                   n=0

帶入原方程式整理可得

(n^2-1)An + (n+2)(n+1)A(n+2) = 0

            n - 1
A(n+2) = - ------- An
            n + 2


令A0 = c0 , A1 = c1

n = 0 ~ n = 2就會得到你的答案了

不過看你答案應該只要求前三項

用直接展開法比較快

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 112.105.72.218
※ 編輯: shinyhaung      來自: 112.105.72.218       (04/09 00:21)
推 doom8199:我還活著阿...
   ^^^^^^^^^有神快拜  我沒說你掛了阿XD
※ 編輯: shinyhaung      來自: 112.105.72.218       (04/09 00:25)
推 kagato:哈哈哈..
推 honestonly:向一樓膜拜m(_ _)m
→ k0184990:哇~好神~~謝謝喔^^
→ doom8199:話說這樣的判斷法並非是所有的 case , 例如
→ doom8199:y'' + (1/√x)y = 0  , 該 O.D.E. 在 x=0 為singular pt.
→ doom8199:不過該點是 irregular 的原因是 x^(3/2) 在 x=0 點是不可
→ doom8199:解析 (極限值不存在 , 而非跑到正負無窮大)
推 k0184990:那這樣的題目該怎麼解呢??
→ k0184990:doom大~Frobenius這級數解釋除非有特別說明才需使用嗎??
我剛剛想不到不可解析要怎麼表示= ="
※ 編輯: shinyhaung      來自: 112.105.72.218       (04/09 00:39)
→ doom8199:就不表示不能用 x=0 這點作無窮級數展開
→ k0184990:否則一般上就算是規則奇異解也能用x=0為常解的冪級數解
→ doom8199:今天要判斷 O.D.E. 在 x=a 點是不是 regular
→ k0184990:來展開嗎??不知這樣觀念是否有誤?
有些題目會說 有些題目不會 所以還是要自己判斷是否為奇點
→ doom8199:主要是想確保 d^n [y(x)] / d(x^n) 在 x=a 點都存在
→ doom8199:這樣泰勒級數才能存在 ; 有某一項不存在，展開就沒意義了
※ 編輯: shinyhaung      來自: 112.105.72.218       (04/09 00:40)
推 doom8199:要判斷存不存在，就要回到微分的定義:
→ doom8199:在 x=a 點的 "鄰域" 都有定義，且會往同一個點作無窮小
→ doom8199:作逼近。  以我前面舉的例子來講， x^(3/2) 在 x<0未定義
→ doom8199:所以 只有右極限存在，沒有左極限，    代表極限不存在
→ doom8199:可不可解析其實就跟微分值存不存在是差不多的意思
推 k0184990:恩恩~有比較瞭解了~~~但是...Frobenius的算事都要這麼長
→ k0184990:嗎??今天算到一題周易老師的case3的題目...算是整個超長
沒錯 而且沒有速解 所以考試看到先跳過~~
※ 編輯: shinyhaung      來自: 112.105.72.218       (04/09 00:52)
→ k0184990:題目:2xy''-xy'+2y=0
→ k0184990:我以前老師的方式是讓我們用背公式...但感覺被公式不是很
→ k0184990:好~但用算的就會佔去大半時間
→ iyenn:我都在玩(遮臉= =||
→ QQkimi:就說你怎麼可能念英文，你用遊戲來提升英文程度還差不多XD
→ iyenn:我是玩國外遊戲沒錯呀XD
→ iyenn:到處都是歪果人Q_q
→ honestonly:是在玩LOL嗎?
→ iyenn:很舊的遊戲了,台灣區代理倒了Q_q.只能去歪果人那玩= =
→ QQkimi:唉 要是我家裡網路夠快就可以陪你玩了XD 可惜~嘖嘖...