推 debdeb:感謝如此詳細指點 m(_ _)m 04/18 11:35
※ 引述《ytyty (該換個版潛水了™ )》之銘言：
: ※ 引述《debdeb ()》之銘言：
: : 話說我PO了兩個板了都沒人理我 Orz
: : 這是 probability and statistical inference 8e 的 3.3-23
: : An insusurance agent receives a bonus if the loss ratio L on his business
: : is less than 0.5, where L is the total losses (say, X) divided by the
: : total premiums (say, T). The bonus equals (0.5-L)(T/30) if L < 0.5 and
: : equals zero otherwise. If X (in $100,000) has the p.d.f
: : f(x)= 3/x^4, x > 1,
: : and if T (in $100,000) equals 3, determine the expected value of the bonus.
: : 我的想法是：
: : 要求 E((0.5-L)(T/30))的值，就必須得到 E(L)
: : 又 X/T = X/3 = L ，所以 E(X/3) = (1/3)E(X) = E(L)
: 這邊應該要把(0.5-L)(T/30)以x來表示
: 因為只知道x的pdf~
: 推 debdeb:剛剛研究了一下，想請問為什麼不能直接算E(X)代入啊？ 04/17 22:46
: → debdeb:因為通常我看到E(一串數字)就想直接拆開求變數的期望值 04/17 22:48
因為bonus函數在L>0.5(即X>1.5)後bonus函數恆為0
所以不能直接代E(aL+b)=aE(L)+b
若x為連續隨機變數，其pdf為f(x)，其定義域為A
則E(aX+b)=∫(ax+b)f(x)dx = ∫(ax)f(x)dx + ∫bf(x) dx = a∫x f(x)dx + b∫f(x)dx
A A A A A
= a*E(X) + bE(1)
一般來說E(1)應該等於1沒錯
而這題的bonus函數：(0.5-L)(T/30) if L < 0.5
0,otherwise
當T=3的時候，bonus函數變成
(0.5-X/3)(3/30) if X<1.5
0,otherwise
對照x的pdf：f(x) = 3/x^4, x > 1
= 0,otherwise
可以知道當x>1.5之後，bonus恆等於0
但是原本x的pdf在x>1.5之後的pdf仍為3/x^4
所以不能用E(aL+b)=aE(L)+b來算~而要改成aE(L)+bE(1)，1<X<1.5來算
1.5 1.5
E(1)=∫ 1(3/x^4)dx = (-1/x^3)│ = 1-8/27 = 19/27
1 1
所以
1.5
E(X)=∫ x．3/x^4 dx = 5/6 E(L) = 5/18
1
代入原式 E[(0.5-L)(3/30)]=(1/10)E(0.5-L)=1/10[0.5E(1)-E(L)]
=1/10*[(1/2)*19/27-5/18]=1/10[(19/54)-(5/18)]
=(1/10)(4/54)=1/135(in $100,000)=740.74
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