Re: [理工] [工數]-級數解

[youmehim (哩挖伊)]

※ 引述《laboy10 (開學了>"<)》之銘言：
:   2
:  d           2
: ____ y(x) - x  y(x) = 0
:    2
:  dx
: y(x = ±∞) = 0
:             2
: y(x)≒exp[-x /2 ]
: 麻煩高手指點一下


原本這題是量物中解簡諧振子的波函數

把拋物位勢代入Schrodinger eq.後

經過一些自變數變換的化簡可得:

            2
y" + (ε - x ) y = 0

這個ODE加上邊界條件(y在無窮遠處收斂)就是個特徵方程式 只有在某些ε才有解

我先代級數解法 隨便看看就好 因為會碰壁 XD

                ∞     n
代級數解 令 y = Σ Cn x  代入可得
               n=0

 ∞            n-2          2  ∞     n
 Σ (n-1)n Cn x    + (ε - x ) Σ Cn x  = 0
n=2                           n=0

 ∞            n-2      ∞     n   ∞     n+2
 Σ (n-1)n Cn x    + ε Σ Cn x  - Σ Cn x   = 0
n=2                    n=0        n=0

                                    n
調整一下n的起始值 使得冪級數項皆為 x

 ∞                  n        ∞     n   ∞       n
 Σ (n+1)(n+2) Cn+2 x    + ε Σ Cn x  - Σ Cn-2 x  = 0
n=0                          n=0        n=2


x的各次方項係數抓出來看

n=0:

2 C2 + εC0 = 0

C2 = -ε/2 C0

n=1:

6 C3 + εC1 = 0

C3 = -ε/6 C1

n=2,3,… :

(n+1)(n+2) Cn+2 + εCn - Cn-2 = 0

上式包含3個未知數Cn+2 Cn Cn-2

我們無法整理而得Cn跟n的直接關係

也無法確認是否符合邊界條件



於是我們換個方法

先找出解在極端情形的形式(asymptotic form)

            2
y" + (ε - x ) y = 0

                  2     2
當x→±∞ , ε - x ≒ -x

      2
y" - x y ≒ 0

為了湊項 乘上2y':

           2
2y' y" - 2x y y' ≒ 0

    2      2   2
[ y' ]' - x [ y ]' ≒ 0

    2        2 2        2
[ y' ]' - [ x y ]' + 2xy ≒ 0

    2   2 2        2
[ y' - x y ]' + 2xy ≒ 0


先省略等號左邊第三項 等等再來檢驗這樣省略是否可行

    2   2 2
[ y' - x y ]' ≒ 0

  2   2 2
y' - x y = c1

因波函數y在無窮遠處應收斂至零 y(±∞)=0 , y'(±∞)=0 可得c1=0

故 y' = ±xy

∫dy/y = ±∫xdx

           2
ln|y| = ±x/2 + c2

           2
        ±x/2
y = c3 e               2                                          2
                      x/2                                       -x/2
因y(±∞)=0 , y = c3 e    在無窮遠處會發散(不合) 所以取 y = c3 e



接著校對剛剛的省略

等號左邊第一項:
                       2                   2              2       2
    2                -x/2  2         2 2 -x       2     -x    3 -x
[ y' ]' = [ ( -c3 x e     ) ]' = [ c3 x e  ]' = c3 ( 2xe  - 2x e   )

等號左邊第三項:

                2
    2         -x
-2xy = -2c3 xe
                        2           2
                    3 -x          -x
在x→±∞ 很明顯 | x e   | >> | xe   |


故此省略是合理的
                                     2
                                   -x/2
我們已經知道y應該包含一個高斯分布 e

                  2
                -x/2 ∞      n
接著只要令 y = e     Σ C'n x  代入 就可以求出漂亮的級數解了
                    n=0

原po只問到極端情況下的解 所以我就只解到這啦 XD

               2
             -x/2
ps.解為 y = e    h(x) , h(x)為Hermite polynomial


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→ iyenn:m(_ _)m
推 QQkimi:(_ _)m    ...你這樣不是害我少一隻手嗎= ="
推 squallyo:強者………
推 h888512:推!!量物課本上都直接省略解Gauss function的過程
推 h888512:這樣解實在很漂亮 算出來的能階還蠻漂亮的 物理意義也有
推 h888512:這個乘以2y'是原po自己發現的嗎??  真漂亮...
→ youmehim:那是課本的解法 我只是把步驟補詳細點 XD
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