※ 引述《paulluo (paulluo)》之銘言：
: Solve the initial value problem by Laplace transformation.
: y''+4ty'-4y = 0 ; y(0)=0, y'(0)=5.
: 以下是我的算法
: sol:
: L{y'} = sY-y(0) = sY
: L{y''} = s^2 Y - sy(0) - y'(0)
: = s^2 Y - 5
: - d ┌ ┐
: L{ty'} = ----│s^2 Y - sy(0) - y'(0) │
: ds └ ┘
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這是 L{y''(t)} 喔， 不是 L{y'(t)} XDD
: -d ┌ ┐
: = ----│s^2 Y -5 │
: ds └ ┘
: =-sY - s^2 Y'
: s^2 Y - 8s Y - 4s^2 Y' -4sY =0
: => 4s^2 Y'+ (12s-s^2)Y = -5
: (12s-s^2) -5
: => Y' + ----------- Y = ------
: 4s^2 4s^2
: 再來後面解不太出來...
y'' + 4ty' - 4y = 0
d
→ (s^2)Y - 5 - 4──(sY) - 4Y = 0
ds
→ (s^2)Y - 5 - 4(Y + sY') - 4Y = 0
s^2 - 8 -5
→ Y' - ──── Y = ──
4s 4s
2 -(1/8)s^2 5 -(1/8)s^2
→ s e *Y = -──∫ se ds
4
-(1/8)s^2
= 5e + C
5 C (1/8)s^2
→ Y = ── + ──e
s^2 s^2
由初值定理 lim sY(s) = lim y(t) exists ( 因為 y'(0)=5 )
s→∞ t→0+ → 存在一區間 |t|<a
a屬於R+ 下, y(t)連續
可知 lim Y(s) exists
s→∞
推得 C = 0
5
因此 Y = ── → y(t) = 5t*u(t)
s^2
ps:
建議把原題目給的初始條件寫成:
y(0+)=0 , y'(0+)=5
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