Re: [理工] [工數]-ODE為何又稱作Laplace？

[ANt0712 (大大)]

※ 引述《andy2007 (...)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板 #1C6p7qCG ]
: 作者: andy2007 (...) 看板: Math
: 標題: [其他] ODE為何又稱作Laplace？
: 時間: Fri Jun 18 16:44:34 2010
: 就如標題一樣，這是學姊當時口試的題目
: 教授問說：為何ODE又可以稱作Laplace？(學姊說她當時聽到是這樣問的)
: 這個題目如果是各位前輩會怎麼回答呢？
: 程度很差，請各位前輩們指教，謝謝各位前輩 <(_ _)>


我們在處理工程或物理問題的時候,會遇到的問題

對於像是保守場的位能函數或是穩態熱傳下的溫度分布

均滿足Laplace方程式 ▽^2(U)=0  u=u(x,y,z)

也就是 d^u/dx^2 + d^u/dy^2 + d^2u/dz^2 = 0 (應該是偏微分,但顯示不出)

要處理這個問題,採用球座標較為方便

因此,u在球座標下具有以下的形式 u=u(r,θ,Φ)

▽^2(U)= .....http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_equation

太難打了,參考上面連結的 In spherical coordinates

對於此物理問題,只要搭配邊界條件,可將u(r,θ,Φ)進行變數分離

令u(r,θ,Φ)=R(r)T(θ)F(Φ) 帶入Laplace方程式

並且整行方程式同除以(R*T*F*sinθ) 可得以下

r^2(R``/R)+2r(R`/R) = -[(T``/T)+cos/sin*(T`/T)+1/sin^2*(F``/F)]

``為二次微分 `為一次微分

上式等號兩邊自變數無關,若等號成立,必然兩側均為常數

因此令等號兩側均等於-λ(此即為特徵植)

(T``/T)+cos/sin*(T`/T)+1/sin^2*(F``/F) = λ

此式在同乘sinθ 可得 sin^2(T``/T)+sin*cos*(T`/T)+λsin^2 = -(F``/F)

上式等號兩側自變數又無關,再令等號兩側均等於K(出現第二個特徵植)

所以這樣不就得到三個方程式!!

  r^2(R``)+2rR`-λR = 0

  F``+ KF = 0

  sin^2(T``)+sinθcosθ(T`)+(λsin^2-K)T = 0

這三個方程式都是常微分方程式 O.D.E

事實上,會有微分方程式也是因為在解這些Laplace時產生出來的

所以可以說明你的口試題目!!



以上是我的想法

希望你能了解微分方程式的由來.

也希望你看得懂.



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推 squallyo:強！
※ 編輯: ANt0712         來自: 220.134.128.251      (06/19 03:06)
推 evecorkey:個人覺得...這題目題意不是很清楚耶...不過推這篇詳細
推 jamtu:威
推 roud:m~