推 andy2007:好厲害!我先謝謝前輩! 晚點再來瞧瞧 06/19 20:07
推 youmehim:原po好有心 給推!! 06/19 20:37
※ 引述《andy2007 (...)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板 #1C79JtyQ ]
: 作者: andy2007 (...) 看板: Math
: 標題: [其他] 單位階梯函數的傅立葉轉換
: 時間: Sat Jun 19 17:59:17 2010
: 單位階梯的傅立葉轉換是
: 1
: Ｆ[ u(x) ] = ----- + πδ(ω)
: iω
: 老師當時是用反轉換來證明這單位階梯函數
: 就是以
: -1 1
: Ｆ [ ----- + πδ(ω) ] 來得到 u(x)
: iω
: 那如果要從 F [ u(x) ] 下手的話該怎麼作呢？
: 直接積分嗎？還是說有特別的方法？
: 希望前輩們指點迷津
: 程度很差，請各位前輩們幫幫忙，謝謝各位前輩 <(_ _)>
∞ ∞ ∞
∫ u(x) dx = ∫ 1 dx = ∞ ＜ ∫ 1 dx f(x) .
-∞ 0 -∞ ↑.
│ .
│ .
｛ e^-ax,x>0 │ ...
let f(x) =｛ -e^ax,x<0 a>0 =====> ────┼───→ x
圖形 .... │
. │
.│
.│
(函數是odd function,上圖畫得有點糟=.=)
-----------------------------------------------------------------------
∞ ∞
∴ F[f(x)] = ∫ f(x) e^-iωx dx = ∫ f(x){cosωx-isinωx)dx
-∞ -∞
∞ ∞ ω
= -2i∫ f(x) sinωx dx = -2i∫ e^-ax (sinωx) dx =-2i ─────
0 0 ω^2 + a^2
取 lim F[f(x)] = -2i/ω
a→0
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f(x)
↑
│
1├─────
│
所以 f(x) 的圖形為 ────┼────→ x
a→0 │
────┤-1
│
│
f(x)+1
↑
又 F[f(x)]+F[1] = -2i/ω+2πδ(w) 2├─────
│
│
==>F[f(x)+1]= -2i/ω+2πδ(w) ────┼────→ x
│
│
│
----------------------------------------------------------------------------
觀察圖形可得知 f(x)+1 = 2u(x)
∴F[f(x)+1] = F[2u(x)] = -2i/ω+2πδ(w)
得 F[u(x)] = -i/ω+πδ(w)
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