Re: [理工] [線代] 矩陣

[a81288653 (Bow)]

※ 引述《EGGELP (放屁會流湯)》之銘言：
: A&B皆n階方陣..若任何B皆有AB=BA ，試問A之條件

我記得沒錯的話

A和B可同步對角化 <-> AB=BA

同步對角化的定義是:A和B有相同的特徵向量矩陣使之對角化

Ex:
            -1          -1
    A=S D1 S  , B=S D2 S

               -1        -1           -1
    AB = (S D1 S )(S D2 S ) = S D1D2 S

    因為D1、D2 都是對角矩陣，所以D1D2=D2D1，得AB=BA


所以A之條件就是使A對角化的特徵向量矩陣必須和B的特徵向量矩陣相同。

小弟首回，如果有錯，還請見諒@@

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.254.230.99
推 EGGELP:請問如果B不能對對角化還成立嗎?
→ EGGELP:題目說任意B
→ a81288653:不行呢，這個是在A、B都能對角化之下才能成立...
→ a81288653:Sorry，所以說 這樣子還是沒回答到你的問題><
推 EGGELP:沒關係，互相討論
→ EGGELP:我有解答但是看無@@
→ a81288653:把解答PO上來吧，害得我也想知道解答是什麼了@@
推 chen1025:我有點好奇，如果從矩陣乘法的基本定義來解是否也可以解?
→ EGGELP:從基本定義下手  我去補習下課再PO解答
→ EGGELP:書是"程雋"應用線性代數P70  EX.50
→ EGGELP:AB=E BA=F則有 eij=ai1b1j+ai2b2j+.....+ainbnj
→ EGGELP:fij=a1jbi1+a2jbi2+......+anj+bin
→ EGGELP:以上兩式bxy項，只有bij皆有，若bxy項只有一式有
→ EGGELP:該項係數axy不為零則不可能任何B皆有BA=AB
→ EGGELP:故滿足AB=BA之充要條件為A=KI..K為常數