Re: [理工] [線代]-科西科西不等式證明

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《SS327 (土豆人)》之銘言：
: 科西不等式l<X,Y>l_< IIXIIIYII
: PF:
:                <X,Y>
: -l_<COSθ=—————_<l
:            IIXIIIYII
: -IIXIIIYII_<  <X,Y> _<IIXIIIYII
: l<X,Y>l_< IIXIIIYII
: 可以這樣證嗎??我問老師老師說不行哩(老師說的我聽不懂)@@@為什麼阿....
: 我打字好難看唷，誰可以教用什麼軟體或怎麼打阿
: ~

---

    能不能像原po這樣證

　　要看你對  inner product 的定義是如何


　　若是 Euclidean inner product

    如  < X , Y > := x1*y1 + x2*y2  for   X = [ x1  x2 ]^T
                                          Y = [ y1  y2 ]^T
    那原 po 打的證明可以算對 (不過可再寫詳細點)


    但是對廣義的 inner product 就不能這樣證明 (要套原始定義)

---

    remark:
             if x & y are in S which is a vector space

            <1>  何謂 norm  ∥x∥ ?

            <2>  何謂  x 和 y 的 inner product   < x,y > ?

         ( 請自行翻閱線性代數課本 )


    question:

           proof ｜<X,Y>｜ ≦ ∥X∥*∥Y∥  for any X、Y 屬於

           vector space S with induced norm ∥‧∥,

           and equality holds iff Y = kX for some scalar k



    pf:

       (1)         _
            if Y = 0  → ∥X∥*∥Y∥ = 0  = ｜<X,Y>｜

                 check  k = 0

       (2)          _
            if Y ≠ 0

            給定任意一實數 k:

            ∥Y-kX∥^2  = < Y-kX , Y-kX >
                        = <Y,Y> + <Y,-kX> + <-kX,Y> + <-kX,-kX>
                        = <Y,Y> - k<Y,X> - k<X,Y> + (k^2)<X,X>
                        = <Y,Y> - k<X,Y> - k<X,Y> + (k^2)<X,X>
                        = <Y,Y> - 2k<X,Y> + (k^2)<X,X>

            因為  < Y-kX , Y-kX > ≧ 0

            所以  ak^2 - 2bk + c ≧ 0     for  a = <X,X>
                                               b = <X,Y>
                                               c = <Y,Y>
            →  4b^2 - 4ac ≦ 0    since a≧0

            →  ｜b｜ ≦ √(ac)

            or  ｜<X,Y>｜ ≦ √(<X,X><Y,Y>)
                           = ∥X∥*∥Y∥


        等號成立於      < Y-kX , Y-kX > = 0
                                 _
                  <==>  Y - kX = 0

                    or  Y = kX

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.47.130
推 SS327:可以請問一下我的解法在不同定義內積算法有什麼不同阿

    例如:
                            b
        < f(t) , g(t) > := ∫  f(t)*g(t) dt   if f(t) & g(t) defined over [a,b]
                            a                 and 在此區間上可積

        可以驗證上述的定義滿足 inner product

        那 Cauchy-Schwarz Inequality 會變成：

          b               2       b     2         b     2
       ( ∫ f(t)*g(t) dt )   ≦  ∫ f(t)  dt  *  ∫ g(t)  dt
          a                       a               a

       該不等式 math 板可以爬一下文，有不少證明方式

　　　 若照 Euclidean inner product 的證明方式

       應該會蠻怪的 XD
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.47.130       (07/11 01:44)
→ SS327:像函數內積不是也可以求角度嗎??
→ SS327:還是要在加C<a,b>這樣對函數也對?
→ EGGELP:在請問一下我的方法不是每一種內基定義下都有這種關係嗎?
→ EGGELP:只是內積在不同定義下入而已??
→ EGGELP:帶入